К разделу

Лекция 6

К содержанию
  1. Ускорение точек при плоском движении.
  2. Мгновенный центр ускорений.
  3. Ускорение точек плоской фигуры как ускорение во вращательном движении вокруг мгновенного центра ускорений.
  4. Частные случаи расположения МЦУ.
  5. Примеры.

Ускорение точек при плоском движении

Продиффиринцируем по времени формулу сложения скоростей в плоском движении
. (1)
В соотношении (1) второе слагаемое есть ускорение точки B относительно A
.
Так как точка В относительно точки А совершает мгновенное вращательное движение, то ускорение aBА может быть разложено на вращательную и нормальную компоненты
.  (2)

 Абсолютное ускорение aB любой точки ''В'' плоской фигуры в каждый данный момент времени равно геометрической сумме двух ускорений: ускорения произвольно выбранного полюса и ускорения точки ''В'' в её вращении вместе с плоской фигурой вокруг этого полюса. Окончательно, формула сложения ускорений точек тела в плоско - параллельном движении будет иметь вид
.  (3)

Мгновенный центр ускорений

 В каждый момент движения плоской фигуры в своей плоскости, если ω ≠ 0, ε ≠ 0 одновременно, имеется единственная точка этой фигуры, ускорение которой равно нулю.
 Если в данный момент времени задано ускорение aА какой – либо точки плоской фигуры, известны ω и ε, то положение мгновенного центра ускорений определяется следующим образом:
  1. Проведём из точки ''А'' полупрямую AN под углом  к вектору aА, отсчитывая этот угол от вектора aА в сторону вращения плоской фигуры, если вращение является ускоренным, и против вращения, если оно является замедленным;
  2. На полученной полупрямой AN отложим отрезок
Действительно, по теореме сложения ускорений (3) имеем aQ = aА + aQА. По модулю векторы aQА и aА равны

,

но противоположны по направлению aQА = − aА. Поэтому

aQ = aА + aQА = aА − aА = 0.

Ускорение точек плоской фигуры как ускорение во вращательном движении вокруг мгновенного центра скоростей

Так как

aB = aQ + aBQ,  (4)

и если Q есть мгновенный центр скоростей, то (4) принимает вид

aB = aBQ.  (5)

Ускорения точек тела в плоскопараллельном движении распределяются так, если бы тело совершало мгновенное вращательное движение вокруг мгновенного центра скоростей (5), и ускорение раскладывается на две составляющие: на центростремительную к Q и вращательную
.
Модуль ускорения
.
Абсолютное ускорение точек плоской фигуры по модулю пропорциональны расстояниям этих точек от мгновенного центра ускорений и образует с отрезками, соединяющие эти точки с мгновенным центром ускорений, один и тот же угол .
Мгновенный цент скоростей не совпадает с мгновенным центром ускорений, при этом

.

Р – мгновенный центр скоростей; Q – мгновенный центр ускорений; С – центр кривизны траектории в данной точке, ВС = ρ.

Частные случаи расположения МЦУ

В случае, когда ε = 0; ω ≠ 0; α = 0, ускорения направлены к МЦУ.
В случае, когда ε ≠ 0; ω = 0; α = 90°, ускорения точек перпендикулярны направлениям от МЦУ.
Определение МЦУ по двум ускорениям, aB = aA + aBA, и aBA = aB − aA.

Примеры

Пример 1. АВ =50 см = 0,5 м. ω0 = 10 сек-1. Найти скорость и ускорение точки В.
Решение.
так как АР = АВ = 0,5 м, то PB = AB·√2


.
.
Спроектируем ускорение точки ''В'' на оси ОХ и ОУ
Из второго уравнения системы имеем
Пример 2. Диск радиуса R = 0,5 м и r = 0,25 м катится со скоростью V0 = 1м/сек равнозамедленно с ускорением а0 = 2 м/сек2. Определить ускорения точек, находящихся на малом радиусе и на биссектрисах координатных четвертей.
Решение. Найдём угловую скорость и угловое ускорение катящегося диска

Находим расстояния от мгновенного центра ускорений Q до точек М1, М2, М3, М4 и ускорения в этих точках:
Пример 3. Определить положение мгновенного центра ускорений, если R = 12 см, ω0 = 2сек-1, ε0 = 8 сек-2.
Решение.


Для подвижного сателлита ускорение будет направлено под углом β и на расстоянии AQ