К разделу

Лекция 8

К содержанию

Вращение твёрдого тела вокруг неподвижной точки

  1. Углы Эйлера
  2. Углы Кардана
  3. Параметры Эйлера
   Вращением твёрдого тела вокруг неподвижной точки называют такое движение, при котором одна точка тела остаётся всё время неподвижной.
   Траектории всех точек тела при таком движении располагаются на поверхностях сфер, описанных из неподвижной точки. Тело, совершающее вращение вокруг неподвижной точки, имеет три степени свободы, так как закрепление одной точки тела уменьшает число степеней свободы на три единицы, а свободное тело имеет шесть степеней свободы.

Углы Эйлера

   Рассматриваются два базиса: базис е2 жёстко связан с телом и базис е1 является неподвижным. Переход от базиса е1 к базису е2 осуществляется тремя последовательными поворотами ψ, θ, φ, последовательностью индесков осей поворотов является (3, 1, 3). Матрицы поворотов отпеределяются соотношениями

,
,
.

               Переход от неподвижного базиса к базису, связанному с телом, осуществляется матрицей А2,1 = A(φ)·A(θ)·А(ψ): е2 = А2,1·е1. Выполняя последовательное умножение указанных матриц, найдём матрицу А2,1

Углы Эйлера обладают тем неудобством, что при θ = nπ оси первого и третьего поворотов совпадают, так что ψ и φ нельзя отличить один от другого. В этом плоскости внешней и внутренней рамки совпадают (схопывание рамок). Использование углов Эйлера целесообразно при исследовании движений, при которых θ приближённо или точно сохраняют постоянное значение θ ≠ nπ, а ≈ const, ≈ const. Использование углов Эйлера удобно также в случае, когда есть две оси, одна из которых неподвижна в базисе е(1),ругая является неподвижной в теле.

Углы Кардана

   Угловая ориентация связанного с телом базиса е2 является результатом последовательных поворотов, в начале которых этот базис совпадает с базисом е1. Индексы осей поворотов определяются последовательностью (1, 2, 3), в этом и состоит единственное отличие углов Кардана от углов Эйлера.. Матрицы последовательных поворотов определяются соотношениями
,, .
Матрица направляющих косинусов, связывающих е1 и е2 равна
Угол φ1 является углом поворота внешней рамки относительно неподвижного основания, угол φ2 является углом поворота внутренней рамки относительно внешней, угол φ3 является углом поворота тела относительно внутренней рамки. Как и для углов Эйлера, существует критический случай φ2 = ½·π + π·n (n = 1, 2, … ), в котором плоскости двух рамок совпадают, так что оси поворотов на углы φ1 и φ2 сливаются. В отличие от углов эйлера не возникает математических особенностей, если все три угла приблизительно равны нулю. По этой причине углы Кардана удобны в тех случаях, когда тело движется таким образом, что связанный с ним базис е2 лишь незначительно отклоняется от е1

Параметры Эйлера

   Теорема Эйлера. Два произвольно ориентированных базиса еr и еs с общим началом P могут быть приведены в совпадение один с другим в результате поворота одного из них на некоторый угол вокруг оси, которая проходит через Р и имеет направление собственного вектора u преобразования поворота.