28.1 Железнодорожный поезд движется по горизонтальному и прямолинейному участку пути. При торможении развивается сила сопротивления, равная 6,1 веса поезда. В момент начала торможения скорость поезда равняется 20 м/с. Найти время торможения и тормозной путь.
Ответ: 20,4 с, 204 м.

28.2. По шероховатой наклонной плоскости, составляющей с горизонтом угол α = 30°, спускается тяжелое тело без начальной скорости. Определить, в течение какого времени Т тело пройдет путь длины l = 39,2 м, если коэффициент трения f = 0,2.
Ответ: Т = 5 с.

28.3. Поезд массы 4·10⁵ кг входит на подъем i = tg α = 0,006 (где α — угол подъема) со скоростью 15 м/с. Коэффициент трения (коэффициент суммаркого сопротивления) при движении поезда равен 0,005. Через 50 с после входа поезда на подъем его скорость падает до 12,5 м/с. Найти силу тяги тепловоза.
Ответ: 23 120 Н. Решение.

,
,
.

28.4. Гирька М привязана к концу нерастяжимой нити МОА, часть которой ОА пропущена через вертикальную трубку; гирька движется вокруг оси трубки по окружности радиуса МС = R, делая 120 об/мин. Медленно втягивая нить ОА в трубку, укорачивают наружную часть нити до длины ОМ₁, при которой гирька описывает окружность радиусом R/2. Сколько оборотов в минуту делает гирька по этой окружности?
Ответ: 480 об/мин.Решение.

,
ω₂ = ω₁·4,
n₂ = 4 ·n₁ = 480 об/мин.

28.5. Для определения массы груженого железнодорожного состава между тепловозами и вагонами установили динамометр. Среднее показание динамоментра за 2 мин оказалось 10⁶ Н. За то же время состав набрал скорость 16 м/с (вначале состав стоял на месте). Найти массу состава, если коэффициент трения μ = 0,02.
Ответ: 3036 т. Решение.

m v = P t − μ m g t,
.

28.6. Каков должен быть коэффициент трения f колес заторможенного автомобиля о дорогу, если при скорости езды v = 20 м/с он останавливается через 6 с после начала торможения.
Ответ: f = 0,34. Решение.

m v − m v₀ = - F_тр·t = − f m g t,
.

28.7. Пуля массы 20 г вылетает из ствола винтовки со скоростью v = 650 м/с, пробегая канал ствола за время t = 0,00095 с. Определить среднюю величину давления газов, выбрасывающих пулю, если площадь сечения канала σ = 150 мм².
Ответ: Среднее давление 9,12·10⁴ Н/мм². Решение.

m v = F·t = p·σ·t,
.

28.8. Точка М движется вокруг неподвижного центра под действием силы притяжения к этому центру. Найти скорость v₂ в наиболее удаленной от центра точке траектории, если скорость точки в наиболее близком к нему положении v₁ = 30 см/с, а r₂ в пять раз больше r₁.

M r₁ v₁ = M r₂ v₂,
.

28.9. Найти импульс равнодействующей всех сил, действующих на снаряд за время, когда снаряд из начального положения О переходит в наивысшее положение М. Дано: v₀ = 500 м/с; α_о = 60°; v₁ = 200 м/с; масса снаряда 100 кг.
Ответ: Проекции импульса равнодействующей: S_x = - 5000 Н·с, S_y = - 43300 Н·с.

,

28.10. Два астероида M₁ и М₂ описывают один и тот же эллипс, в фокусе которого S находится Солнце. Расстояние между ними настолько мало, что дугу M₁М₂ эллипса можно считать отрезком прямой. Известно, что длина дуги M₁М₂ равнялась а, когда середина ее находилась в перигелии Р. Предполагая, что метеориты движутся с разными секториальными скоростями, определить длину дуги M₁М₂ , когда середина ее будет проходить через афелий А, если известно, что SP = R₁ и SA = R₂.

,
,
,
.

28.11. Мальчик массы 40 кг стоит на полозьях спортивных саней, масса которых равна 20 кг, и делает каждую секунду толчок с импульсом 20 Н·с. Найти скорость, приобретаемую санями за 15 с, если коэффициент трения f = 0,01.
Ответ: v = 3,53 м/с. Решение.

28.12. Точка совершает равномерное движение по окружности со скоростью v = 0,2 м/с, делая полный оборот за время Т = 4 с. Найти импульс S сил, действующих на точку, за время одного полупериода, если масса точки m = 5 кг. Определить среднее значение силы F.
Ответ: S = 2 Н·с, F = 1 H. Решение.

28.13. Два математических маятника, подвешенных на нитях длин l₁ и l₂ (l₁ > l₂), совершают колебания одинаковой амплитуды. Оба маятника одновременно начали двигаться в одном направлении из своих крайних отклоненных положений. Найти условие, которому должны удовлетворять длины l₁ и l₂ для того, чтобы маятники по истечении некоторого промежутка времени одновременно вернулись в положение равновесия. Определить наименьший промежуток времени Т.
Ответ: , где k, n — целые числа и дробь k/n несократима; Т = k T₂ = n T₁. Решение.

28.14 . Шарик массы m, привязанный к нерастяжимой нити, скользит по гладкой горизонтальной плоскости; другой конец нити втягивают с постоянной скоростью а в отверстие, сделанное на плоскости. Определить движение шарика и натяжение нити Т, если известно, что в начальный момент нить расположена по прямой, расстояние между шариком и отверстием равно R, а проекция начальной скорости шарика на перпендикуляр к направлению нити равна v_o.
Ответ: В полярных координатах (если принять отверстие за начало координат и угол φ_о равным нулю): Решение.

28.15. Определить массу М Солнца, имея следующие данные: радиус Земли R = 6,37·10⁶ м, средняя плотность 5,5 т/м³, большая полуось земной орбиты а = 1,49·10¹¹ м, время обращения Земли вокруг Солнца Т = 365,25 сут. Силу всемирного тяготения между двумя массами, равными 1 кг, на расстоянии 1 м считаем равной H, где m — масса Земли; из законов Кеплера следует, что сила притяжения Земли Солнцем равна , где г — расстояние земли от Солнца.
Ответ: М = 1,966·10³⁰ кг.

28.16. Точка массы m, подверженная действию центральной силы F, описывает лемнискату r² = a cos 2 φ, где а — величина постоянная, r— расстояние точки от силового центра; в начальный .момент r = r₀, скорость точки равна v₀ и составляет угол α с прямей, соединяющей точку с силовым центром. Определить величину силы F, зная, что она зависит только от расстояния r.
По формуле Бине

,

28.17. Точка М, масса которой m, движется около неподвижного центра О под влиянием силы F, исходящей из этого центра и зависящей только от расстояния МО = r. Зная, что скорость точки v = а/r, где а — величина постоянная, найти величину силы F и траекторию точки.
Ответ: Сила притяжения ; траектория — логарифмическая спираль.

28.19. Частица М массы 1 кг притягивается к неподвижному центру О силой, обратно пропорциональной, пятой степени расстояния. Эта сила равна 8 Н на расстоянии I м. В начальный момент частица находится на расстоянии ОМ₀ = 2 м и имеет скорость, перпендикулярную к ОМ₀ и равную 0,5 м/с. Определить траекторию частицы.
Ответ: Окружность радиуса 1 м, центр которой лежит на линии ОМ₀ на расстоянии 1 м от центра притяжения.

28.20. Точка массы 0,2 кг, движущаяся под влиянием силы притяжения к неподвижному центру по закону тяготения Ньютона, описывает полный эллипс с полуосями 0,1 м и 0,08 м в течение 50 с. Определить наибольшую и наименьшую величины силы притяжения F при этом движении.
Ответ: F _max= 1,97·10^-3 Н Н, F_min = 3,23·10^~4 H.

28.21. Математический маятник, каждый размах которого длится одну секунду, называется секундным маятником и применяется для отсчета времени. Найти длину l этого маятника, считая ускорение силы тяжести равным 981 см/с². Какое время покажет этот маятник на Луне, где ускорение силы тяжести в 6 раз меньше земного? Какую длину l₁ должен иметь секундный лунный маятник ?
Ответ: l = 99,4 см, Т₁ = 2,45 с, h = 16,56 см.

28.22. В некоторой точке Земли секундный маятник отсчитывает время правильно. Будучи перенесен в другое место, он отстает на Т секунд в сутки. Определить ускорение силы тяжести в новом положении секундного маятника.
Ответ: , где g_o —ускорение силы тяжести в первоначальном положении маятника.