32.1. Пружина АВ, закрепленная одним концом в точке А, такова, что для удлинения ее на 1 м необходимо приложить в точке В при статической нагрузке силу 19,6 Н. В некоторый момент к нижнему концу В недеформированной пружины подвешивают гирю С массы 0,1 кг и отпускают ее без начальной скорости. Пренебрегая массой пружины, написать уравнение дальнейшего движения гири и указать амплитуду и период ее колебаний, отнеся движение к оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия гири.

Уравнение движения тела В имеет вид . В положении статического равновесия с x0 = m g и поэтому уравнение движения примет вид , где . Общее решение будем искать в виде x = A sin ω t + B cos ω t Начальными условиями движения будут: при t = 0, x = - x0, откуда B = - x0. Так как и учитывая начальные условия будем иметь А = 0. Окончательно . Окончательно x = - 5·cos 14 t. Период колебания равен .

32.2. При равномерном спуске груза массы М = 2 m со скоростью v = 5 м/с произошла неожиданная задержка верхнего конца троса, на котором опускался груз, из - за защемления троса в обойме блока. Пренебрегая массой троса, определить его наибольшее натяжение при последующих колебаниях груза, если коэффициент жесткости троса 4·10⁶ Н/м.

; ; x = A sin ω t + B cos ω t ; t = 0, x = 0, B = 0; ; v = A·ω; ; . Закон движения груза x = 0,1118·sin 44,7 t. Сила натяжения троса определится соотношением . .

32.3. Определить наибольшее натяжение троса в предыдущей задаче, если между грузом и тросом введена упругая пружина с коэффициентом жесткости с₁ = 4·10⁵ Н/м. Решение.
Ответ: 154 кН.

;
;
;
F_max = M g + c_экв A = 2000·9,8 + 0,36·10⁶·0,373 = 1,54·10⁵ Н.

32.4. Груз Q, падая с высоты h = 1 м без начальной скорости, ударяется об упругую горизонтальную балку в ее середине; концы балки закреплены. Написать уравнение дальнейшего движения груза на балке, отнеся движение к оси, проведенной вертикально вниз из положения статического равновесия груза на балке, если статический прогиб балки в ее середине при указанной нагрузке равен 0,5 см; массой балки пренебречь. Решение.
Ответ: х = ( - 0,5 cos 44,3 t + 10 sin 44,3 t ) см.

32.5. На каждую рессору вагона приходится нагрузка Р Н; под этой нагрузкой рессора при равновесии прогибается на 5 см. Определить период Т собственных колебаний вагона на рессорах. Упругое сопротивление рессоры пропорционально стреле ее прогиба. Решение.
Ответ: Т = 0,45 с.

32.6. Определить период свободных колебаний фундамента машины, поставленного на упругий грунт, если масса фундамента с машиной М = 90 т, площадь подошвы фундамента S = 15 м², коэффициент жесткости грунта с = λS, где λ = 30 Н/см³ - так называемая удельная жесткость грунта. Решение.
Ответ: Т = 0,089 с.

32.7. Найти период свободных вертикальных колебаний корабля на спокойной воде, если масса корабля М т, площадь его горизонтальной проекции S м². Плотность воды ρ = 1 т/м³. Силами, обусловленными вязкостью воды, пренебречь. Решение.
Ответ:

32.8. В условиях предыдущей задачи найти уравнения движения корабля, если он был спущен на воды с нулевой вертикальной скоростью. Ответ:

32.9. Груз, вес которого равен Р Н, подвешен на упругой нити к неподвижной точке. Выведенный из положения равновесия, груз начинает совершать колебания. Выразить длину нити х в функции времени и найти, какому условию должна удовлетворять начальная длина ее х₀, чтобы во время движения гири пить оставалась натянутой. Натяжение нити пропорционально удлинению; длина ее в нерастянутом состоянии равна l; от действия статической нагрузки, равной q H, нить удлиняется на 1 см. Начальная скорость груза равна нулю.
Ответ:

32.10. На два вращающихся в противоположные стороны, указанные на рисунке, цилиндрических шкива одинакового радиуса свободно положен однородный стержень; центры шкивов О₁ и О₂ находятся на горизонтальной прямой О₁О₂; расстояние О₁О₂ = 2 l; стержень приводится в движение силами трения, развивающимися в точках касания его со шкивами; эти силы пропорциональны давлению стержня на шкив, причем коэффициент пропорциональности (коэффициент трения) разен f.
1) Определить движение стержня после того, как мы сдвинем его из положения симметрии на х₀ при v₀ = 0.
2) Найти коэффициент трения f, зная, что период колебаний Т стержня при l = 25 см равен 2 с. Решение.
Ответ: 1) 2).

32.11. К одной и той же пружине подвесили сначала груз веса р, а во второй раз груз веса Зр. Определить, во сколько раз изменятся период колебаний. Зная коэффициент жесткости пружины с, а также начальные условия (грузы подвешивались к концу нерастянутой пружины и отпускались без начальной скорости), найти уравнения движения грузов.
Ответ:

32.12. К пружине жесткости с = 2 кН/м сначала подвесили груз массы 6 кг, а затем заменили его грузом вдвое большей массы. Определить частоты и периоды колебаний грузов.
Ответ: ^1 = 18,26 рад/с, #2=12,9 рад/с, Т\ = = 0,344 с, Г2 = 0,49 с.

32.13. К пружине, коэффициент жесткости которой равен с = 19,6 Н/м, были подвешены два груза с массами m₁ = 0,5 кг и m₂ = 0,8 кг. Система находилась в покое в положении статического равновесия, когда груз m убрали. Найти уравнение движения, частоту, круговую частоту и период колебаний оставшегося груза.
Ответ: х = 0,4 cos 6,26 t м; f = 1 Гц, k = 2π рад/с, Т = 1 c.

32.14 (32.14). Груз массы m₁ = 2 кг, подвешенный к пружине, коэффициент жесткости которой с = = 98 Н/м, находится в равновесии. В некоторый момент к грузу m₁, добавили груз m₂ = 0,8 кг. Определить уравнение движения и период колебаний двух грузов.
Ответ: х0 = -0,08 cos 5,916/ м, Т = 1,062 с.

32.15(32.15). Груз массы 4 кг подвесили сначала к пружине с жесткостью с₁ = 2 кН/м, а затем к пружине с жесткостью с₂ = 4 кН/м. Найти отношение частот и отношение периодов колебаний груза в этих двух случаях.
Огвет:

32.16. Тело массы m находится на наклонной плоскости, составляющей угол α с вертикалью. К телу прикреплена пружина, жесткость которой с. Пружина параллельна наклонной плоскости. Найти уравнение движения тела, если в начальный момент оно было прикреплено к концу нерастянутой пружины и ему была сообщена начальная скорость v₀, направленная вниз по наклонной плоскости. Начало координат взять в положении статического равновесия. Решение.
Ответ:

32.17. Ha гладкой плоскости, наклоненной к горизонту под углом α находится прикрепленный к пружине груз веса Р. Статическое удлинеяие пружины равно f. Определить колебания груза, если в начальный момент пружина была растянута из ненапряженного состояния на длину, равную 3 f, и груз отпущен без начальной скорости. Решение.
Ответ:

32.18. Тело массы М = 12 кг, прикрепленное к концу пружины, совершает гармонические колебания. При помощи секундомера установлено, что тело совершило 100 полных колебаний за 45 с. После этого к концу пружины добавочно прикрепили груз массы M₁ = 6 кг. Определить период колебаний двух грузов на пружине. Ответ:

32.19. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения одного груза М и двух грузов M + M₁ если в обоих случаях грузы были подвешены к концу нерастянутой пружины.
Ответ: 1) х = - 5,02 cos 14 tсм, 2) х = - 7,53 cos 11,4 t см, где х и x₁ отсчитываются соответственно от каждого из двух положений статического равновесия.

32.20. Груз М, подвешенный к неподвижной точке A на пружине, совершает малые гармонические колебания в вертикальной плоскости, скользя без трения по дуге окружности, диаметр которой АВ равен l; натуральная длина пружины а; жесткость пружины такова, что при действии силы, равной весу груза М, она получает удлинение, равное b. Определить период Т колебаний в том случае, когда l = а + b; массой пружины пренебречь и считать, что при колебаниях она остается растянутой. Решение.
Ответ:

32.21. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза М, если в начальный момент Ð ВАМ = φ_о и точке M сообщили начальную скорость v_о, направленную по касательной к окружности вниз.
Ответ:

32.22. Тело Е, масса которого равна m, находится на гладкой горизонтальной плоскости. К телу прикреплена пружина жесткости с, второй конец которой прикреплен к шарниру O₁. Длина недеформированной пружины равна l_о в положении равновесия тела пружина имеет конечный предварительный натяг, равный F_о = c ( l - l_о ), где l = ОО₁. Учитывая в горизонтальной составляющей упругой силы пружины лишь линейные члены относительно отклонения тела от положения равновесия, определить период малых колебаний тела. Решение.
Ответ:

32.23. Материальная точка массы m подвешена к концу нерастянутой пружины с коэффициентом жесткости с и отпущена с начальной скоростью v_о, направленной вниз. Найти уравнение движения и период колебаний точки, если в момент времени, когда точка находилась в крайнем нижнем положении, к ней прикладывают силу Q = const, направленную вниз.
 Начало координат выбрать в положении статического равновесия, т. е. на расстоянии Р/с от конца нерастянутой пружины, где t отсчитывается от момента времени, когда начала действовать сила Q; Т = .
Ответ:

32.24. Определить период свободных колебаний груза массы m, прикрепленного к двум параллельно включенным пружинам, и коэффициент жесткости пружины, эквивалентной данной двойной пружине, если груз расположен так, что удлинения обеих пружин, обладающих заданными коэффициентами жесткости c₁ и c₂ , одинаковы. Решение.
Ответ: : с = c₁ + c₂; расположение груза таково, что a₁/a₂ = c₂/c₁.

32.25. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если его подвесили к нерастянутым пружинам и сообщили ему начальную скорость v₀, направленную вверх.
Ответ:

32.26 . Определить период свободных колебаний груза массы m, зажатого между двумя пружинами с разными коэффициентами жесткости c₁ и c₂. Решение.
Ответ:

32.27. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если в положении равновесия ему сообщили скорость v₀, направленную вниз.
Ответ:

32.28. Определить коэффициент жесткости с пружины, эквивалентной двойной пружине, состоящей из двух последовательно включенных пружин с разными коэффициентами жесткости c₁ и c₂, и указать также период колебаний груза массы m, подвешенного на указанной двойной пружине. Решение.
Ответ:

32.29. В условиях предыдущей задачи найти уравнение движения груза, если в начальный момент он находился ниже положения равновесия на расстоянии x₀ и ему сообщили скорость v₀, направленную вверх.
Ответ:

32.30. Определить коэффициент жесткости составной пружины, состоящей из двух последовательно соединенных пружин с разными коэффициентами жесткости c₁ = 9,8 Н/см и c₂ = 29,4 Н/см. Найти период колебаний, амплитуду и уравнения движения груза массы 5 кг, подвешенного к указанной составной пружине, если в начальный момент груз был смещен из положения статического равновесия на 5 см вниз и ему была сообщена начальная скорость 49 см/с, направленная также вниз.
Ответ: T = 0,517 с, а = 6,43 си, x = 5 cos 12.13 t + 4,04 sin 12,13 t дм.

32.31. Тело А, масса которого равна m, может перемещаться по горизонтальной прямой. К телу прикреплена пружина, коэффициент жесткости которой с. Второй конец пружины укреплен в неподвижной точке В. При угле α = α₀ пружина не деформирована. Определить частоту и нериод малых колебаний тела. Решение.
Ответ:

32.32. Точка А, масса которой равна m, прикреплена пружинами, как указано на рисунке. В исходном положении точка находится в равновесии и все пружины не напряжены. Определить коэффициент жесткости эквивалентной пружины при малых колебаниях точки вдоль оси х в абсолютно гладких направляющих и частоту свободных колебаний точки. Решение.
Ответ:

32.33. Определить коэффициент жесткости пружины, эквивалентной трем пружинам, показанным на рисунке, при колебаниях точки М в абсолютно гладких направляющих вдоль оси х. Решить ту же задачу, если направляющие расположены чдоль оси у. Определить частоты этих колебаний. В исходном положении пружины не напряжены и точка М находится в равновесии. Решение.
Ответ:

32.34. Определить коэффициент жесткости эквивалентной пружины, если груз М массы m прикреплен к стрежню, массой которого можно пренебречь. Стержень шарнирно закреплен в точке О и прикреплен тремя вертикальными пружинами к фундаменту. Коэффициенты жесткости пружин c₁, c₂, c₃. Пру жины прикреплены к стержню на расстояниях a₁, a₂, a₃ от шириира. Груз М прикреплен к стержню на расстоянии b от шарнира. В положении равновесия стержень горизонтален. Эквивалентная пружина крепится к стержню на расстоянии b от шарнира. Найти частоту малых колебаний груза. Решение.
Ответ:

32.35. Винтовая пружина состоит из n участков, коэффициенты жесткости которых соответственно равны c₁, c₂,..., c_n. Определить коэффициент жесткости с однородной пружины, эквивалентной данной, и период свободных колебаний точки, масса которой равна m.
Ответ:

32.36. Груз массы 10 кг, лежащий на абсолютно гладкой горизонтальной плоскости зажат между двумя пружинами одинаковой жесткости с = 19,6 Н/см. В некоторый момент груз был сдвинут иа 4 см от положения равновесия вправо и отпущен без начальной скорости. Найти уравнение движения, период колебаний, а также максимальную скорость груза. Решение.
Ответ: х = 4 cos 19,8 t см, T = 0,317 с, v_mах =79,2 см/с.

32.37. Груз Р массы m подвешен к стержню АВ, который соединен двумя пружинами, с коэффицентами жесткости с₂ и с₃, со стержнем DE. Последний прикреплен к потолку в точке Н пружиной, коэффициент жесткости которой с₁. При колебаниях стернши АВ и DE остаются горизонтальными. Определить коэффициент жесткости одной эквивалентной пружины, при которой груз Р будет колебаться с той же частотой. Найти период свободных колебаний груза. Массой стержней пренебречь. Решение.
Oтвет:

32.38. Определить собственную частоту колебаний груза Q массы m, подвешенного на конце упругой консоли длины l. Пружина, удерживающая груз, имеет жесткость с. Жссткость на конце консоли определяется формулой c₁ = 3Е J/l³ ( E - модуль упругости, J - момент инерции). Массой консоли пренебречь. Решение.
Ответ:

32.39. Колебания груза массы М = 10 кг, лежащего на середине упругой балки жесткости с = 20 Н/см, происходят с амплитудой 2 см. Определить величину начальной скорости груза, если в момент времени t = 0 груз находился в положении равновесия.
Ответ: v₀ = 28,3 см/с.

32.40. Груз Q массы m закреплен горизонтально натянутым тросом АВ = l. При малых вертикальных колебаниях груза натяжение троса S можно считать постоянным. Определить частоту свободных колебаний груза, если расстояние груза от конца троса А равно α. Решение.
Ответ;

32.41. Груз веса 490,5 Н лежит посередине балки АВ. Момент инерции поперечного сечения балки J = 80 см⁴. Определить длину балки l из условия, чтобы период свободных колебаний груза на балке был равен- Т = 1 с.
Примечание. Статический прогиб балки определяется формулой f = , где модуль упругости Е = 2,05·10¹¹ Н/м². Решение.
Ответ: l = 15,9 м.

32.42. Груз Q массы m зажат между двумя вертикальными пружинами с коэффициентами жесткости c₁ и c₂. Верхний конец первой пружины закреплен неподвижно, а нижний конец второй пружины прикреплен к середине балки. Определить длину балки l так, чтобы период колебаний груза был равен Т. Момент инерции поперечного сечения балки J, модуль упругости Е. Решение.
Ответ:

32.43. Найти уравнение движения и период колебаний груза Q массы m, подвешенного к пружине с коэффициентом жесткости c₁, если пружина прикреплена к середине балки длины l. Жесткость балки на изгиб E J. В начальный момент груз находился в положении статического равновесия и ему была сообщена скорость v₀, направленная вниз. Решение.
Ответ:

32.44 (32.44). Груз веса Q зажат между двумя вертикальными пружинами, коэффициенты жесткости которых равны c₁ и c₂. Верхний конец первой пружины закреплен неподвижно. Нижний конец второй пружины прикреплен к свободному концу балки, заделанной другим концом в стене. Зная, что свободный конец заделанной балки под действием силы Р, приложенной к свободному концу балки, дает прогиб , где E J - заданная жесткость балки при изгибе, определить длину балки l, при которой груз будет колебаться с данным периодом Т. Найти уравнение движения груза, если в начальный момент он был подвешен к концам нерастянутых пружин и отпущен без начальной скорости. Решение.
Ответ:

32.45. Стержень ОА длины l, на конце которого помещен груз массы m, может поворачиваться вокруг оси О. На расстоянии а от оси О к стержню прикреплена пружина с коэффициентом жесткости с. Определить собственную частоту колебаниЛ груза, если стержень ОА в положении равновесия занимает горизонтальное положение. Массой стержня пренебречь. Решение.
Ответ: