39.1. Тяжелое тело состоит из стержня АВ длины 80 см и массы 1 кг и прикрепленного к нему диска радиуса 20 см и массы 2 кг. В начальный момент при вертикальном положении стержня телу сообщено такое движение, что скорость центра масс М₁ стержня равна нулю, а скорость центра масс М₂ диска равна 360 см/с и направлена по горизонтали вправо. Найти последующее движение тела, принимая во внимание только действие силы тяжести.

. Начальные условия при t = 0 , xc0 = yc0 = 0, ω0 = ω, . С1 = С2 = С4 = 0, С3 = 240, С5 = 6.

39.2. Диск падает в вертикальной плоскости под действием силы тяжести; В начальный момент диску была сообщена угловая скорость ω₀ а его центр масс С, находившийся в начале координат, имел горизонтально направленную скорость v₀. Найти уравнения движения диска. Оси х, у изображены на рисунке. Силами сопротивления пренебречь.
Ответ: х_c = v₀ t, у_с = g t²/2, φ = ω₀ t где φ —угол поворота диска, образованный осью х и диаметром, занимавшим в начальный момент горизонтальное положение.

39.3. Решить предыдущую задачу, считая, что момент m_с сопротивления движению относительно подвижной горизонтальной оси, проходящей через центр масс С диска перпендикулярно плоскости движения его, пропорционален первой степени угловой скорости диска φ', причем коэффициент пропорциональности равен β. Момент инерции диска относительно этой оси равен J_с.
Ответ: х_c = v₀ t, у_с = g t²/2, , где φ —угол поворота диска, образованный осью х и диаметром, занимавшим в начальный момент горизонтальное положение.

39.4. Ведущее колесо автомашины радиуса r и массы М движется горизонтально и прямолинейно. К колесу приложен вращающий момент m. Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости, равен ρ. Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен f. Какому условию должен удовлетворять вращающий момент для того, чтобы колесо катилось без скольжения? Сопротивлением качения пренебречь.
Ответ: . Решение.

, , Условие качения колеса без проскальзывания имеет вид | Fтр | ≤ f N. Откуда получаем . Откуда .

39.5. Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения равен f_k.
Ответ: . Решение.

где момент трения качения mk = fk N. . Условие качения колеса без проскальзывания имеет вид | Fтр | ≤ f N. Откуда получаем . Откуда .

39.6. Ось ведомого колеса автомашины движется горизонтально и прямолинейно. К оси колеса приложена горизонтально направленная движущая сила F. Радиус инерции колеса относительно оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости, равен ρ. Коэффициент трения скольжения колеса о землю равен f. Радиус колеса равен r, масса колеса равна М, Какому условию должна удовлетворять величина силы F для того, чтобы колесо катилось без скольжения? Сопротивлением качения пренебречь.
Ответ: . Решение.

. ,

39.7. Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения равен f_k.
Ответ: . Решение.

. Условие качения колеса без проскальзывания имеет вид | Fтр | ≤ f N. Откуда получаем .

39.8. Автомобильный прицеп движется замедленно с ускорением w₀ до остановки. При этом тормоз в одном из его колес не включается. Давление колеса на дорогу равно N. Коэффициент сцепления колеса с дорогой равен f. Дано: r — радиус колеса, m — его масса, ρ —радиус инерции. Определить силу горизонтального давления S колеса на его ось.
Ответ:

1. 1) 
2. 2) 

39.9. Колесо радиуса r катится по прямолинейному горизонтальному рельсу под действием приложенного вращающего момента , где f — коэффициент трения скольжения, М—масса колеса. Определить скорость точки колеса, соприкасающейся с рельсом (скорость проскальзывания). Масса колеса равномерно распределена по его ободу. Трением качения, пренебречь. В начальный момент колесо находилось в покое.
Ответ: f g t/2.

39.10. Решить предыдущую задачу с учетом трения качения, если коэффициент трения качения .
Ответ: .

39.11. Однородный цилиндр с горизонтальной осью скатывается под действием силы тяжести по наклонной шероховатой плоскости с коэффициентом трения f. Определить угол наклона плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра, предполагая, что при движении цилиндра скольжение отсутствует. Сопротивлением качения пренебречь.
Ответ: α ≤ arctg 3 f, . Решение.

39.12. Однородный сплошной круглый диск катится без скольжения по наклонной плоскости, расположенной иод углом α к горизонту. Ось диска образует угол β с линией наибольшего ската. Определить ускорение центра масс диска, считая, что его качение происходит в одной вертикальной плоскости.
Ответ: .

39.13. Однородный цилиндр с горизонтальной осью cкатыипется под действием силы тяжести со скольжением по наклонной плоскости при коэффициенте трения скольжения f. Опрсделить угол наклона плоскости к горизонту и ускорение оси цилиндра.
Ответ: α > arctg 3 f, w = g (sin α — f·cos α).

39.14. Однородное колесо радиуса r скатывается без скольжения по наклонной плоскости, образующей угол α с горизонтом. При каком значении коэффициента трения качения f_k центр масс колеса будет двигаться равномерно, а колесо при том будет равномерно вращаться вокруг оси, проходящей через центр масс перпендикулярно его плоскости?
Ответ: f_k = r tg α. Решение.

49.15. На барабан однородного катка массы М и радиуса r, лежащего на горизонтальном шероховатом полу, намотана нить, к которой приложена сила Т под углом α к горизонту. Радиус барабана а, радиус инерции катка ρ. Определить закон движения оси катка О, В начальный момент каток находился в покое, затем катился без скольжения.
Ответ: , причем ось х направлена слева направо.

39.16. Однородный стержень АВ массы М горизонтально подвешен к потолку посредством двух вертикальных нитей, прикрепленных к концам стержня. Найтн натяжение одной из нитей в момент обрыва другой.
Указание. Составить дифференциальные уравнения движения стержня для весьма малого промежутка времени, следующего за моментом обрыва нити, пренебрегая изменением направления стержня и изменением расстояния центра масс стержня от другой нити.
Ответ: .

39.17. Однородный стержень АВ массы М подвешен в точке О на двух нитях равной с ним длины. Определить натяжение одной из нитей в момент обрыва другой. (См. указание к задаче 39.16.)
Ответ: Т = 0,266 Mg.

39.18. Однородный тонкий стержень длины 2 l и массы М лежит на двух опорах А и В; центр масс С стержня находится на одинаковых расстояниях от опор, причем С А = СВ = а; давление на каждую опору равно 1/2 Р, Как изменится давление на опору А в тот момент, когда опора В будет мгновенно удалена? (См. указание к задаче 39.16.)

39.19. Тяжелый круглый цилиндр А массы m обмотан посредине тонкой нитью, конец которой В закреплен неподвижно. Цилиндр падает без начальной скорости, разматывая нить. Определить скорость оси цилиндра, после того как эта ось опустится на высоту h, и найти натяжение Т нити.
Ответ:

39.20. Две гибкие нити обмотаны вокруг однородного круглого цилиндра массы М и радиуса r так, что завитки их расположены симметрично относительно средней плоскости, параллельной основаниям. Цилиндр помещен на наклонной плоскости АВ так, что его образующие, перпендикулярны линии наибольшего ската, а концы С нитей закреплены симметрично относительно вышеуказанной средней плоскости на расстоянии 2 r от плоскости АВ. Цилиндр начинает двигаться без начальной скорости под действием силы тяжести, преодолевая трение о наклонную плоскость, причём коэффициент трения равен f. Определить путь s, пройденный центром масс цилиндра за время t, и натяжение Т нитей, предполагая, что в течение рассматриваемого промежутка времени ни одна из нитей не сматывается до конца.
Ответ: . Цилиндр остается в покое, если tg α < 2 f.

39.21. Два цилиндрических вала массы M₁ и М₂ скатываются по двум наклонным плоскостям, образующим соответственно углы α и β с горизонтом. Валы соединены нерастяжимой питью, концы которой намотаны на валы и к ним прикреплены. Определить натяжение нити и ее ускорение при движении по наклонным плоскостям. Валы считать однородными круглыми цилиндрами. Массой нити пренебречь.
Ответ:

39.22. Определить период малых колебаний однородного полукруглого диска радиуса R, находящегося на негладкой горизонтальной плоскости, по которой он может катиться без скольжения.
Ответ:.