41.1. Определить силу тяжести, действующую на круглый однородный диск радиуса 20 см, вращающийся вокруг оси по закону φ = 3 t². Ось проходит через центр диска перпендикулярно его плоскости; главный момент сил инерции диска относительно оси вращения равен 4 Н·см.
Ответ: 3,27 Н. Решение.

,
.

41.2. Тонкий прямолинейный однородный стержень длины l и массы М вращается вокруг оси, проходящей перпендикулярно стержню через его конец, по закону φ = аt². Найти величины и направления равнодействующих J_n и J_τ центробежных и вращательных сил инерции частиц стержня.
Ответ. Равнодействующая вращательных сил инерции J_τ = М а l направлена перпендикулярно стержню на расстоянии 2 l/3 от оси вращения; равнодействующая центробежных cил инерции J_n = 2М а²l t² направлена вдоль стержня от оси вращения.

41.3. Колесо массы М и радиуса r катится без скольжения по прямолинейному горизонтальному, рельсу. Определить главный вектор и главный момент сил инерции относительно оси, проходящей через центр масс колеса перпендикулярно плоскости движения. Колесо считать сплошным однородным диском. Центр масс С движется по закону х_с = а t²/2, где а – постоянная положительная величина. Ось х направлена вдоль рельса.
Ответ: Главный; вектор сил инерции равен по модулю М а и направлен параллельно оси в отрицательном направлении; главный момент сил инерции равен по абсолютной величине М а r/2.

41.4. Определить главный вектор и главный момент сил инерции подвижного колеса II планетарного механизма относительно оси, проходящей через его центр масс С перпендикулярно плоскости движения. Кривошип ОС вращается с постоянной угловой скоростью ω. Масса колеса II равна М. Радиусы колёс равны r.
Ответ: Главный вектор сил инерции параллелен кривошипу ОС и равен 2М rω²; главный момент сил инерции равен нулю.

41.5. Конец А однородного тонкого стержня АВ длины 2l и массы М перемещается по горизонтальной направляющей с помощью упора Е с постоянной скоростью v, причем стержень все время опирается на угол D. Определить главный вектор и главный момент сил инерции стержня относительно оси, проходящей через центр масс С стержня перпендикулярно плоскости движения, в зависимости от угла φ.
Ответ: , , . Решение.

Ф = − M·a_c, ,
,
,
x_c = OA + l·cos φ, y_c = l·sin φ.
,
,
,

41.6. По данным предыдущей задачи определить динамическое давление стеркня на угол D.
Ответ:

41.7. Для экспериментального определения замедления троллейбуса применяется жидкостный акселерометр, состоящий из изогнутой трубки, наполненной маслом и расположенной в вертикальной плоскости. Определить величину замедления троллейбуса при торможении, если при этом уровень жидкости в конце трубки, расположенном в направлении движения; повышается до величины h₂, а в противоположном конце понижается до h₁. Положение акселерометра указано на рисунке: α₁ = α₂ = 45°, h₁ = 25 мм, h₂ = 75 мм.
Ответ:

41.8. С каким ускорением должна двигаться по горизонтальной плоскоскоти призма, боковая грань которой образует угол α с горизонтом, чтобы груз, лежащий на боковой грани, не перемещался относительно призмы?
Ответ:

41.9. Для исследования влияния быстро чередующихся растягивающих и сжимающих сил на металлический брусок ( испытание на усталость) испытуемый брусок А прикрепляют за верхний конец к ползуну В кривошипного механизма ВСО, а к нижнему концу подвешивают груз массы М. Найти силу, растягивающую брусок, в том случае, когда кривошип ОС вращается вокруг оси О с постоянной угловой скоростью ω.
У к а з а н и е . Выражение следует разложить в ряд и отбросить все члены ряда, содержащие отношение r/l в степени выше второй.
Ответ:

41.10. Определить опорные реакции подпятника А И подшипника В поворотного крана при поднимании груза Е массы 3 т с ускорением g/3. Масса крана равна 2 т и приложена в его центре масс С. Масса тележки В равна 0,5 т. Кран и тележка неподвижны. Размеры указаны на рисунке.
Ответ: X_A = − X_В = 52,1 Кн, Y_A = 63,9 Кн.

41.11. Определить опорные реакции подпятника А и подшипника В поворотного крана, рассмотренного в предыдущей задаче, при перемещении влево с ускорением 0,5 g тележки в случае отсутствия груза Е. Центр масс тележки находится на уровне опоры В.
Ответ:

41.12. На паром, привязанный к берегу двумя параллельными канатами, въезжает грузовик массы 7 т со скоростью 12 км/ч; тормоза останавливают грузовик на протяжении 3 м. Предполагая, что сила трения, колес о настил, парома постоянна, определить натяжение канатов. Массой и ускорением парома пренебречь.
Ответ: T = 6,48 Кн.

41.13. Автомобиль массы М движется прямолинейно с ускорением w. Определить вертикальное давление передних и задних колес автомобиля, если его центр масс С находится на высоте h от поверхности грунта. Расстояния передней и задней осей автомобиля от вертикали, проходящей через центр масс, соответственно равны а и b. Массами колёс пренебречь. Как должен двигаться автомобиль, чтобы давления передних и задних колес оказались равными?
Ответ: , при торможении автомобиля с замедлением .

41.14. С каким ускорением w опускается груз массы М₁ поднимая груз массы М₂ с помощью полиспаста, изображенного на рисунке? Каково условие равномерного движения груза Р? Массами блоков и троса пренебречь.
У к а з а н и е . Ускорение груза Q в четыре раза меньше ускорения груза Р.
Ответ:

41.15. Гладкий клин массы М и с углом 2α при вершине раздвигает две пластины массы М₁ каждая, лежачщие в покое на гладком горизонтальном столе. Написать уравнения движения клина и пластин и определить силу давления клина на каждую из пластин.
Ответ: Уравнение движения клина: , где ; уравнение движения пластин: давление.

41.16. Груз А массы М₁ опускаясь вниз, приводит в движение посредством нерастяжимой нити, переброшенной через неподвижный блок С, груз В массы М₂. Определить силу давления стола D на пол, если масса стола равна М₃. Массой нити пренебречь.
Ответ:

41.17. Груз А массы М₁ опускаясь вниз по наклонной плоскости D образующей угол α с горизонтом, приводит в движение посредством нерастяжимой нити, переброшенной через неподвижный блок С, груз В массы М₂. Определить горизонтальную составляющую давления наклонной плоскости D на выступ пола Е. Массой нити пренебречь.
Ответ:

41.18. Однородный стержень массы М и длины l вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг неподвижной вертикальной оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его конец. Определить растягивающую силу в поперечном сечении стержня, отстоящем от оси вращения на расстоянии а. Ответ:

41.19. Однородная прямоугольная пластинка массы М равномерно вращается вокруг вертикальной оси с угловой скоростью ω. Определить силу, разрывающую пластину в направлении, перпендикулярном оси вращения, в сечении, проходящем через ось враще- ния.
Ответ:

41.20. Однородный круглый диск радиуса R и массы М вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг своего вертикального диаметра. Определить силу, разрывающую диск по диаметру.
Ответ:

41.21. Тонкий прямолинейный однородный стержень длины l и массы М вращается с постоянной угловой скоростью ω около неподвижной точки О (шаровой шарнир), описывая коническую поверхность с осью ОА и вершиной в точке О, Вычислить угол отклонения стержня от вертикального направления, а также величину N давления стержня на шарнир О.
Ответ:

41.22. В центробежном, тахометре два тонких однородных прямолинейных стержня длины а и b жестко соединены под прямым углом, вершина которого О шарнирно соединена с вертикальным валом; вал вращается с постоянной угловой скоростью ω. Найти зависимость между ω и углом отклонения φ, образованным направлением стержня длины а и вертикалью.
Ответ:

41.23. Тонкий однородный прямолинейный стержень АВ шарнирно соединен с вертикальным валом в точке О. Вал вращается с постоянной скоростью ω. Определить угол отклонения φ стержня от вертикали, если ОА = а и ОВ = b.
Ответ: