44.1. Баба А ударного копра падает с высоты 4,905 м и ударяет наковальню В, укрепленную на пружине. Масса бабы 10 кг, масса наковальни 5 кг. Определить, с какой скоростью начнется движение наковальни после удара, если баба будет двигаться вместе с ней.
О т в е т: 6,54 м/с. Решение.

Воспользуемся законом сохранения механической энергии

и найдём скорость, с которой "Баба" упадёт на наковальню v_A = √2 g h = √2·9,81·4,905 = 9,81 м/с.
Воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы двух тел А и В
( m_A + m_В ) u − m_A v_A = 0, Откуда скорость наковальни В, с которой она начнёт двигаться сразу после удара, будет равна .

44.2. Груз А массы М₁ падает без начальной скорости с высоты h на плиту В массы М₂, укрепленную на пружине, которая имеет коэффициент жесткости с. Найти величину s сжатия пружины после удара в предположении, что коэффициент восстановления равен нулю.
О т в е т: . Решение.

Воспользуемся законом сохранения механической энергии

и найдём скорость, с которой "Баба" упадёт на наковальню v_A = √2 g h.
Воспользуемся теоремой об изменении количества движения системы двух тел А и В : ( m₁ + m₂ ) u − m₁ v_A = 0, Откуда скорость наковальни В, с которой она начнёт двигаться сразу после удара, будет равна
.
Далее воспользуемся теоремой о сохранении полной механической энергии
,
,
,
,
.
Решая квадратное уравнение, получим единственное приемлемое решение
,
или
.

44.3. В приборе для опытного определения коэффициента восстановления шарик из испытуемого материала падает без начальной скорости внутри вертикальной прозрачной трубки с заданной высоты h₁ = 50 см на неподвижно, закрепленную горизонтальную пластинку из соответствующего материала. Найти коэффициент восстановления, если высота, на которую подскочил,шарик после удара, оказалась равной h₂ = 45 см.
Ответ: . Решение.

До удара
.
После удара
.
Находим коэффициент восстановления
.

44.4. Упругий шарик падает по вертикали с высоты h на горизонтальную плиту, отскакивает от нее вверх, вновь падает на плиту и т. д., продолжая эти движения. Найти путь, пройденный шариком до остановки, если коэффициент восстановления при ударе равен k.
Ответ: . Решение.

Скорость до удара v_m определяется высотой падения h_m
.
Высота падения h_m определяется скоростью отскока предыдущего удара
.
Так как u_m-1 = k·v_m-1, то
.
Высота падения изменяется по убывающей геометрической прогрессии и поэтому
.

44.5. Два тела, имеющие массы m₁ и m₂ падают с некоторой высоты на неподвижную горизонтальную плоскость, h_o исходная высота центра масс. Тела соединены пружиной; причем до удара она недеформирована. Предполагая, что удар нижнего тела о плоскость является абсолютно неупругим, а при деформации пружины потери энергии не происходит, определить, на какую максимальную высоту h поднимется центр масс тел после удара.
Ответ: .

44.6. Паровой молот массы 12 т падает со скоростью 5 м/с на наковальню, масса которой вместе с отковываемой деталью равна 250 т. Найти работу А₁, поглощаемую отковываемой деталью, и работу А₂, потерянную на сотрясение фундамента, а также вычислить коэффициент η полезного действия молота; удар неупругий.
Ответ: А₁ = 143 кН·м, А₂ = 6 кН·м, η = 0,95.

44.7. Молот массы m₁ = 10 кг расплющивает заготовку до нужных размеров за 70 ударов. За сколько ударов эту операцию произведет молот массы m₂ = 100 кг, если приводной механизм сообщает ему такую же скорость, что и первому молоту. Масса наковальни М = 200 кг. Удар считать абсолютно неупругим.
Ответ: 10 ударов.

44.8. Найти скорости после абсолютного упругого удара двух одинаковых шаров, двигавшихся навстречу друг другу со скоростями v₁ и v₂.
Ответ: Шары после удара обмениваются скоростями.

44.9. Два одинаковых упругих шара A и В движутся навстречу друг другу. При каком соотношении между скоростями до удара шар А после удара остановится? Коэффициент восстановления при ударе равен k.
Ответ: . Решение.

Согласно закону сохранения количества движения имеем
m_A·v_A − m_В·v_В = m_A·0 + m_В·u_В.
Так как m_A = m_В, то v_A − v_В = u_В.
Воспользуемся формулой для коэффициента восстановления для прямого удара
.
Из системы уравнений

находим
.

44.10. Тело А настигает тело В, имея в 3 раза большую скорость. Каким должно быть соотношение масс этих тел, чтобы после удара тело А остановилось? Удар считать прямым центральным. Коэффициент восстановления k = 0,8.
Ответ: m_B/m_A = 5. Решение.

Согласно закону сохранения количества движения имеем
m_A·v_A + m_В·v_В = m_A·0 + m_В·u_В, где v_A = 3 v_В. Коэффициент восстановления
.
Из системы уравнений

получим m_B : m_A = 5.

44.11. Определить отношение масс m₁ и m₂ двух шаров в следующих двух случаях: 1) первый шар находится в покое; происходит центральный удар, после которого второй шар остается в покое; 2) шары встречаются с равными и противоположными скоростями; после центрального удара второй шар остается в покое. Коэффициент восстановления равен k.
Ответ: 1) , 2) .

44.12. Три абсолютно упругих шара с массами m₁ , m₂ и m₃ лежат в гладком желобе на некотором расстоянии друг от друга. Первый шар, пущенный с некоторой начальной скоростью, ударяет во второй, покоящийся шар, который, начав двигаться, в свою очередь ударяет в третий, покоящийся шар. При какой величине массы m₂ второго шара третий шар получит наибольшую скорость?
Ответ: .

44.13. Шар массы m₁, движущийся поступательно со скоростью v₁ встречает покоящийся шар массы m₂ , так.что скорость его образует при ударе угол α с линией, соединяющей центры шаров. Определить: 1) скорость первого шара после удара, считая удар абсолютно неупругим; 2) скорость каждого из шаров после удара в предположении, что удар упругий с коэффициентом восстановления k.
Ответ:

44.14. Абсолютно упругий шар, центр которого движется прямолинейно со скоростью v, встречает под углом α гладкую вертикальную плоскость. Определить скорость шара после удара.
Ответ: Угол отражения равен углу падения, скорости до и после удара по модулю равны.

44.15. Стальной шарик падает на горизонтальную стальную плиту под углом 45° и отскакивает под углом 60° к вертикали. Определить коэффициент восстановления при ударе.
Ответ: k = 0,58.

44.16. Шарик падает наклонно со скоростью v на неподвижную горизонтальную плоскость и отскакивает от плоскости со скоростью v₁ = v√2/2. Определить угол падения α и угол отражения если коэффициент восстановления при ударе k = 3/3.
Ответ: α = π/6, β = π/4.

44.17. Два одинаковых абсолютно упругих шара, двигаясь поступательно, соударяются с равными по модулю скоростями v. Скорость левого шара до удара направлена по линии центров направо, а скорость правого шара до удара образует с линией центров угол α. Найти скорости шаров после удара.
Ответ: u_1n = − v соs α, u_1τ = 0, u_2n = v, u_2τ% = v sin α. Ось n направлена по линии центров вправо, ось τ – вверх.

44.18. Имеются три одинаковых шара М₁, М₂, М₃ радиусов R, расстояние между центрами С₁С₂ = а. Определить, на какой прямой АВ, перпендикулярной линии С₁С₂, должен находиться центр С₃ третьего шара для того, чтобы, получив некоторую скорость по направлению АВ, этот шар после удара о шар М₂ нанес центральный удар шару М₁, шары абсолютно упруги и движутся поступательно.
Ответ: Расстояние прямой АВ от центра С₂ равно ВС₂ = 4 К²/а.

44.19. Для укрепления грунта под фундаментом здания сваи массы М = 50 кг вбивались копром, боек которого массы М₁ = 450 кг падал без начальной скорости с высоты h = 2 м; при последних десяти ударах свая углубилась на δ = 5 см. Определить среднее сопротивление грунта при вбивании свай. Удар считать неупругим.
Ответ: S = 159 кН.

44.20. Два шара с массами m₁ и m₂ висят на параллельных нитях длин l₁ и l₂ так, что центры их находятся на одной высоте. Первый шар был отклонен от вертикали на угол α₁ и затем отпущен без начальной скорости. Определить угол предельного отклонения α₂ второго шара, если коэффициент восстановления равен k.
Ответ: .

44.21. Маятник ударной машины состоит из стального диска А радиуса 10 см и толщины 5 см и из стального круглого стержня В диаметра 2 см и длины 90 см. На каком расстоянии l от горизонтальной плоскости, в которой лежит ось вращения O, должен быть помещен разбиваемый машиной брусок С, чтобы ось не испытывала удара? Ударный импульс лежит в плоскости рисунка и направлен горизонтально.
Ответ: l = 97,5 см.

44.22. Определить положение центра удара прямоугольной мишени для стрельбы. Высота мишени равна h.
Ответ: s = 2h/3.

44.23. Определить положение центра удара К треугольной мишени для стрельбы. Высота мишени равна h.
Ответ: s = h/2.

44.24. Два шкива вращаются в одной плоскости вокруг своих осей с угловыми скоростями ω_1o и ω_2o. Определить угловые скорости шкивов ω₁ и ω₂ после того, как на них будет накинут ремень, считая шкивы круглыми дисками одинаковой плотности с радиусами R₁ и R₂ и пренебрегая скольжением и массой ремня.
Ответ: .

44.25. Баллистический маятник, употребляющийся для определения скорости снаряда, состоит из цилиндра АВ, подвешенного к горизонтальной оси О; цилиндр открыт с одного конца А и наполнен песком; снаряд, влетающий в цилиндр, производит вращение маятника вокруг оси О на некоторый угол. Дано: М – масса маятника; ОС = h – расстояние от его центра масс С до оси О; ρ – радиус инерции относительно оси О; m – масса снаряда; ОD = а – расстояние от линии действия ударного импульса до оси; α – угол отклонения маятника. Определить скорость снаряда, предполагая, что ось маятника О не испытывает удара, причем аh = ρ².
Ответ:

44.26. Однородный стержень массы М и длины l, прикрепленный своим верхним концом к цилиндрическому шарниру О, падает без начальной скорости из горизонтального положиния. В вертикальном положении он ударяет груз массы m, сообщая ему движение по горизонтальной шероховатой плоскости. Коэффициент трения скольжения f. Определить путь, пройденный грузом, считая удар неупругим.
Ответ: .

44.27. Однородная прямая призма с квадратным основанием стоит на горизонтальной плоскости и может вращаться вокруг ребра АВ, лежащего в этой плоскости. Ребро основания призмы равно а, высота ее 3а, масса 3m. В середину С боковой грани, противолежащей ребру , ударяет шар массы m с горизонтальной скоростью v. Предполагая, что удар неупругий и что масса шара сосредоточена в его центре, который после удара оетается в точке С, определить наименьшую величину скорости v, при которой призма опрокинется.
Ответ: .

44.28. Платформа с помещенным на ней призматическим грузом АВ катится по горизонтальным рельсам со скоростью v. На платформе имеется выступ, в который упирается ребро В груза, препятствуя последнему скользить по платформе вперед, но не препятствуя вращению его около ребра В. Дано: h – высота центра масс груза над платформой, ρ – радиус инерции груза относительно ребра В. Определить угловую скорость со вращения груза около ребра В в момент мгновенной остановки платформы.
Ответ: .

44.29. Полагая при условиях предыдущей задачи, что груз представляет собой однородный прямоугольный параллелепипед, длина ребра которого вдоль платформы равна 4 м, а высота 3 м, найти, при какой скорости произойдет опрокидывание груза.
Ответ: v = 30,7 км/ч.