Малые колебания системы с одной степенью свободы

54.1. Жесткий стержень ОВ длины l может свободно качаться на шаровом шарнире около конца О и несет шарик веса Q на другом конце. Стержень удерживается в горизонтальном положении посредством нерастяжимого вертикального шнура длины h. Расстояние ОА = а. Если шарик оттянуть перпенпикулярно плоскости рисунка и загем отпустить, то система начнет колебаться. Пренебрегая массой стержня, определить период малых колебаний системы.
Ответ:

. Решение.

54.2. Определить период малых колебании астатического маятника, употребляемого в некоторых сейсмографах для записи колебаний почвы. Маятник состоит из жесткого стержня длины l, несущего на конце массу m, зажатую между двумя горизонтальными пружинами жесткости с с закрепленными концами. Массой стержня пренебречь, и считать пружины в положении равновесия ненапряженным.
Ответ:

. Решение.

c_экв = 2 с,

54.3. Маятник состоит из жесткого стержня длины l, несущего массу m на своем конце. К стержню прикреплены две пружины жесткостц с на расстоянии а от его верхнего концам противоположные концы пружин закреплены. Пренебрегая массой стержня, найти период малых колебаний маятника.
Ответ:

. Решение.

54.4. Предполагая, что маятник, описанный в предыдущей задаче, установлен так, что масса m расположена выше точки подвеса, определить условие, при котором вертикальное положение равновесия маятника устойчиво, и вычислить период малых колебаний маятника.
Ответ:

Решение.

54.5. Цилиндр диаметра d и массы m может катиться без скольжения по горизонтальной плоскости. Две одинаковые пружины жесткости с прикреплены посредине его длины на расстоянии а от оси цилиндра; противоположные, концы пружин закреплены. Определить период малых колебаний цилиндра.
Ответ: Решение.

54.6. Определить период малых колебаний метронома, состоящего из маятника и добавочного подвижного груза G массы m. Момент инерции всей системы относительно горизонтальной оси вращения изменяется путем смещения, подвижногруза G. Масса маятника М; расстояние центра масс маятника от оси вращения О равно s₀; расстояние OG = s; момент инерции маятника относительно оси вращения J₀.
Ответ:

. Решение.

,
П = m g s cos φ - M g s₀ cos φ = g (m s cos φ - M s₀) cos φ,

54.7. Тело, подвешенное на двух вертикальных нитях длины l каждая, расстояние между которыми 2а, закручивается вокруг вертикальной оси, лежащей в плоскости нитей и равноудаленной от них (бифилярный подвес). Радиус инерции тела относительно оси вращения ρ. Найти период малых колебаний.
Ответ:

. Решение.

,
ψ·l = φ·a,

54.8. Круглый обруч подвешен к трем неподвижным точкам тремя одинаковыми нерастяжимыми нитями длины l так, что плоскость обруча горизонтальна. Нити в положении равновесия обруча вертикальны и делят окружность обруча на три равные части. Найти период малых колебаний обруча вокруг оси, проходящей через центр обруча.
Ответ:

54.9. Тяжелая квадратная платформа АВСD массы М подвешена на четырех упругих канатах, жесткости c каждый, к неподвижной точке О, отстоящей в положении равновесия системы на расстоянии l по вертикали от центра Е платформы. Длина диагонали платформы а. Опредёлить период вертикальных колебаний системы.
Ответ:

54.10. Уголок, составленный из тонких однородных стержней длин l и 2l с углом между стержнями 90°, может вращаться вокруг точки О. Определить период малых колебаний уголка около положения равновесия.

54.11. Определить период малых свободных колебаний маятника массы М, ось вращения которого образует угол β с горизонтальной плоскостью. Момент инерции маятника относительно оси вращения J, расстояние центра масс от оси вращения s.

54.12. В приборе для регистрации вертикальных колебаний фундаментов машин груз Q массы m, закрепленный на вертикальной пружине, коэффициент жесткости которой с₁ шарнирно соединен со статически уравновешенной стрелкой, выполненной в виде ломаного рычага с моментом инерции J относительно оси вращения О и отжимаемой к равновесному положеннию горизонтальной пружиной с коэффициентом жесткости с₂. Определить период свободных колебаний стрелки около ее вертикального равновесного положения, если ОА = а и ОВ = b. Размерами груза и влиянием первоначального натяжения пружины пренебречь.

54.13. Амортизационное устройство может быть схематизировано в виде материальной точки массы m, соединенной n пружинами жесткости с с вершинами правильного многоугольника. Длина каждой пружины в ненапряженном состоянии а, радиус окружности, описанной около многоугольника, b. Определить частоту горизонтальных свободных колебаний системы, расположенной в горизонтальной плоскости.
У к а з а н и е . Для вычисления потенциальной энергии с точностью до величин второго порядка малости включительно следует определить удлинение пружин той же степенью точности.

54.14. В предыдущей задаче определить частоту колебаний, перпендикулярных плоскости многоугольника. Силами тяжести пренебречь.

54.15. Определить частоту малых, вертикальных колебаний материальной точки Е, входящей в состав системы, изображенной на рисунке. Масса материальной точки m. Расстояния AВ = ВС и DЕ = ЕF; жесткости пружин с₁, с₂, с₃, с₄ заданы. Бруски АС и DF считать жесткими, не имеющими массы.