Малые колебания систем с несколькими степенями свободы

55.1. Для экспериментального исследования процесса регулирования гидравлических турбин сконструирована установка, состоящая из турбины, ротор которой имеет момент инерции относительно оси вращения J₁ = 50 кг·см², маховика с моментом инерции J₂ = 1500 кг·см² и упругого вала С, соединяющего ротор турбины с маховиком; вал имеет длину l = 1552 мм, диаметр d = 25,4 мм, модуль сдвига материала вал G = 8800 кН/см. Пренебрегая массой вала и скручиванием его толстых участков, найти то сечение nm вала, которое при свободных колебаниях данной системы остается неподвижным (узловое сечение), а также вычислить период Т свободных колебаний системы.
Ответ: а = 50 мм, T = 0,09 с. Решение.

φ₁ = A sin k t, φ₂ = B sin k t,

,
J₁J₂ k⁴ - c k² (J₁ + J₂) = 0,
k₁ = k₂ ≠ 0,

, где φ = φ₁ − φ₂ – взаимный угол поворота дисков.

55.2. Определить частоты свободных крутильных колебаний системы, состоящей из вала, закрепленного на одном конце, с насаженными посредине и на другом конце однородными дисками. Момент инерции каждого диска относительно оси, вала J; жесткость на кручение участков вала c₁ = c₂ = c. Массой вала пренебречь.

55.3. Определить частоты главных крутильных колебаний системы, состоящей из вала с насаженными на него тремя одинаковыми дисками. Два диска закреплены на концах вала, а третий — посредине. Момент инерции каждого диска относительно оси вала J ; жесткость на кручение участков вала c₁ = c₂ = c. Массой вала пренебречь.
Ответ:

. Решение.

55.4. Два одинаковых маятника длины l и массы m каждый соединены, на уровне h упругой пружиной жесткости с, прикрепленной концами к стержням маятников. Определить малые колебания системы в плоскости равновесного положения маятников, после того как одному из маятников сообщено отклонение на угол α от положения равновесия; начальные скорости маятников равны нулю. Массами стержней маятников и массой дружины, пренебречь.
Ответ:

, где φ₁ и φ₂ отклонение маятников от вертикали и

. Решение.

55.5. Диск маcсы М может катиться без скольжения по прямолинейному рельсу. К центру диска шарнирно прикреплен стержень длины l, на конце которого находится точечный груз массы m. Найти период малых колебаний маятника. Массой стержня пренебречь.
Ответ:

. Решение.

П = - m g l cos φ,