Образец решения задания

Образец выполнения задания

Д а н о: схема фермы (смотри рисунок); Р₁ = 2 кН, Р₂ = 4 кН, Р₃ = 6 кН, а = 4,0 м; h = 3,0 м.
Р е ш е н и е. Определение реакций опор. Покажем внешние силы, приложенные к ферме: активные (задаваемые) силы P₁, P₂, P₃ и реакции oпор А и В (смотри рисунок).
Так как линия действия реакции опоры А неизвестна, определим ее составляющие по координатным осям X_А и Y_А.
Опора В – стержневая; линия действия ее реакции известна – она направлена вдоль опорного стержня.
Составим уравнения равновесия сил, приложенных к ферме:

(1) Из этих уравнений R_B = −10,5 кН; Y_A = 6,0 кН; X_A = 16,5 кН. Определение сил в стержнях фермы способом вырезания узлов. Стержни, сходящиеся в узле фермы, являются для узлового соединения связями. Отбросим мысленно связи и заменим их действие на узлы реакциями. На рисунке показаны узлы фермы с приложенными к ним активными и реактивными силами.
Силу в стержне с номером i обозначим S_i. Так как стержень, соединяющий узлы М и N, находится в равновесии, то S_iN = − S_iM, но S_iN = S_iM = S_i.
Направления реакций всех стержней показаны от узлов внутрь стержней в предположении, что стержни растянуты. Если в результате решения реакция стержня получится отрицательной, это будет означать, что соответствующий стержень сжат.
Для каждого узла составим два уравнения равновесия: Σ X_i = 0 и Σ Y_i = 0. Начнем с узла H: Σ X_i = 0 −P₁ − S_1H·cos α = 0;
Σ Y_i = 0 − S_1H·sin α − S_2H = 0, откуда определяем S_1H = S₁ = − 2,5 кН (стержень сжат) и S_2H = S₂ = 1,5 кН.
Для узла Е: Σ X_i = 0 S_1E·cos α + S_3E= 0;
Σ Y_i = 0 S_1E·sin α − P₃ − S_4E= 0, откуда находим S_3E = S₃ = 2,0 кН, S_4E = S₃ = − 7,5 кН (стержень сжат). Затем составляем уравнения равновесия сил, приложенных к узлам F, С, D, В, А.
Для проверки расчета для каждого узла построим многоугольник сил. Для узла Н откладываем в масштабе силу P₁ и проводим через конец и начало этого вектора направления реакций S_1H и S_2H до их взаимного пересечения. Стрелки векторов S_1H и S_2H ставим так, чтобы силовой треугольник был замкнут. Для этого на рисунке стрелку S_1H пришлось направить в сторону, противоположную показанной на рисунке, – это соответствует знаку минус в аналитическом решении.
При построении многоугольника сил для узла Е откладываем силы P₃ и S_1E (направляется противоположно S_1H) и проводим до взаимного пересечения направления реакций S_3E и S_4E и т. д. Измеренные в масштабе построения реакции стержней должны мало отличаться от найденных аналитически. Приводим таблицу сил в стержнях (табл. 1) и схему фермы с фактической картиной сил. Двойными линиями указаеы сжатые стержни, Одинарной сплошной линией указаеы растянутые стержни, пунктирной линией указан стержень, сила в котором равна нулю.

Номер стержня	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Знак силы	−	+	+	−	−	+	+	−	−	+
Сила, кН	2,5	1,5	2,0	7,5	7,5	6,0	6,0	12,0	7,5	10,5	0

Определение сил в стержнях способом сечений (способом Риттера). Требуется определить силы в стержнях 4, 5 и 8.
По способу Риттера каждая сила должна быть определена из отдельного уравнения и не должна выражаться через силы в других стержнях.
Для определения сил мысленно разрежем ферму сечением I – I. Рассматриваем равновесие сил, приложенных к верхней части фермы. Действие отброшенной нижней части на верхнюю представлено силами S₄, S₅ и S₆. По-прежнему условно предполагаем все стержни растянутыми. Знак минус в ответе укажет на то, что стержень сжат.
Для определения S₄ составим уравнение моментов сил относительно точки F, где пересекаются линии действия сил S₅ и S₆ (точки Риттера для стержня 4): Σ M_iF = 0; S₄·a + P₃·a + P₁·h = 0. Отсюда получим S₄ = − 7,5 кН. Для определения S₅, чтобы исключить из уравнения усилия S₄ и S₆, проецируем силы на ось х: Σ X_i = 0; −P₁ − P₂ − S₅·cos α = 0. Отсюда получим S₅ = − 7,5 кН.
Для определения силы S₈ проводим сечение II-II. Рассмотрим равновесие сил, приложенных к нижней части фермы. Точкой Риттера для стержня 8 является узел D, где пересекаются линии действия сил S₉ и S₁₀, исключаемых из уравнения: Σ M_iD = 0; − S₈·a − Y_A·a + X_A·h = 0. Отсюда получим S₈ = − 12,0 кН.