К разделу
Лекция 1 К содержанию
  1. Основные определения и понятия.
  2. Аксиомы статики.
  3. Основные типы реакций.
  4. Разложение силы.
  5. Система сходящихся сил.
  6. Условие равновесия сходящейся системы сил.
  7. Теорема о трёх силах.
  8. Примеры.

Основные определения и понятия

 Статика твердого тела - представляет собой учение о равновесии сил, приложенных к твердому телу.
 В статике рассматриваются следующие две основные задачи:
1) замена данной системы сил, приложенных к твердому телу, другой системой сил ей эквивалентной, и
2) вывод общих условий, при которых твердое тело под действием приложенных к нему сил остается в состоянии покоя или в состоянии равномерного прямолинейного поступательного движения.
 В статике твердое тело рассматривается как абсолютно твердое.
 Абсолютно твердым называется такое тело, расстояния между каждыми двумя точками которого остаются всегда неизменными. Абсолютно твердое тело всегда сохраняет неизменной свою геометрическую форму.
 Понятие абсолютно твёрдого тела является механической моделью, приближением для упрощения исследования действия сил на тело и условий, при которых силы находятся в равновесии.
 Механическим воздействием одного тела на другое называют такое воздействие, при котором пренебрегают изменениями в химической структуре тела и его физическим состоянием.
 Сила является физической величиной, характеризующей меру механического воздействия одного тела на другое или непосредственно через контакт, или через пространство посредством поля.
 Сила представляет собой векторную величину, так как меру воздействия одного тела на другое определяется не только ее численным значением, но также и ее направлением.
 Действие силы на данное абсолютно твердое тело определяется следующими тремя факторами:
1) точкой приложения силы,
2) направлением силы,
3) численным значением силы.
 Точкой приложения силы называется та материальная частица данного тела, на которую эта сила действует. Под направлением данной силы понимают направление того перемещения, которое получает под действием этой силы материальная точка, находившаяся в покое. Прямая, по которой направлена данная сила, называется линией действия этой силы.
 За единицу силы в технической системе единиц принимается килограмм, и численное значение каждой силы выражается, следовательно, в килограммах. При статическом способе измерения сил применяют специальные приборы, называемые динамометрами . Примером простейшего из них могут служить обыкновенные пружинные весы, принцип действия которых основан на деформации пружины, принимая во внимание, что при действии равных сил пружина получает равные удлинения или сжатия (смотри рисунок).
 Системой сил называют группу сил, приложенных к телу в тех или иных точках.
По расположению линий действия сил системы сил подразделяются на группы:
  1. 1) произвольная пространственная система сил – система сил, линии действия которых произвольно расположены в пространстве; (смотри рисунок)
  2. 2) произвольная плоская система сил – система сил, линии действия которых произвольно расположены в одной плоскости; (смотри рисунок)
  3. 3) сходящаяся система сил – система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке; (смотри рисунок)
  4. 4) система параллельных сил – система сил, линии действия которых параллельны. (смотри рисунок)

 Две системы сил называют эквивалентными, если каждая из них, действуя отдельно, может сообщить покоящемуся телу одно и то же движение: (смотри рисунок)
{Fi = 1,n} ~ {Фi = 1,m}
Из этого определения следует, что две системы сил, эквивалентные третьей, эквивалентны между собой.
 Систему сил называют эквивалентной нулю или уравновешивающей, если она, будучи приложена к покоящемуся телу, не изменяет его состояния покоя:
{Fi = 1,n} ~ 0.
 Равнодействующей силой данной системы сил называют силу, эквивалентную этой системе сил: (смотри рисунок)
{Fi = 1,n} ~ R.
 Силой, уравновешивающей систему сил называют такую силу, которая будучи приложенной к этой системе сил, составит вместе с ней новую систему сил, эквивалентную нулю: (смотри рисунок)

Аксиомы статики

  1. Для равновесия двух сил, приложенных к абсолютно твердому телу, необходимо и достаточно, чтобы эти силы были равны по модулю и направлены по прямой, соединяющей точки их приложения, в противоположные стороны:
    {F1, F2} ~ 0, причём | F1 | = | F2 |.
  2. Механическое состояние тела не изменится, если к системе сил добавить или изъять из нее систему сил, эквивалентную нулю:
    {Fi = 1,n} ~ {{Fi },{Pj }}i = 1,n; j = 1,m , если {Pj = 1,m} ~ 0.
     С л е д с т в и е. Любую силу, не нарушая ее действия на абсолютно твердое тело, можно переносить по линии действия этой силы.


    {F} ~ {F, F1, F2} ~ {{F, F2}, F1} ~ {F1}.
    Точку приложения силы можно переносить по линии действия этой силы и вектор, изображающий данную силу, приложенную к абсолютно твердому телу, есть вектор скользящий.
     Если к абсолютно твердому телу приложена уравновешивающаяся система сил, то одна из этих сил, взятая в обратном направлении, является равнодействующей для всех остальных сил.
  3. Действие одного тела на другое никогда не может быть односторонним. Силы, с которыми действуют друг на друга два тела, всегда равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Однако эти силы приложены к разным телам и они не эквивалентны нулю F1 = − F2.
  4. Равнодействующая двух сил, приложенных к абсолютно твердому телу в одной точке, равна их геометрической сумме, т. е. выражается по модулю и направлению диагональю параллелограмма, построенного на этих силах Система двух сил F1 и F2 , приложенных к одной точке твердого тела, всегда имеют равнодействующую
    .
    Силу можно разложить бесчисленным множеством способов на две силы, приложенные в любой точке линии действия данной силы.
      Если данное твердое тело может получить любое перемещение в пространстве, то такое тело называется свободным. Если же тело поставлено в такие условия, в силу которых некоторые перемещения для него становятся невозможными, то такое тело называется несвободным. Эти условия, стесняющие свободу движения тела, называются в механике связями. Связями называют любые тела, ограничивающие перемещения.
      Сила, с которой тело, осуществляющее связь, действует на данное рассматриваемое тело, препятствуя его перемещению в том или ином направлении, называется реакцией этой связи. Направление реакции связи противоположно тому направлению, по которому связь препятствует двигаться данному телу.
     Силы, возникающие со стороны связей называют реакциями связей.
     Из аксиомы 3 следует, что сила, с которой данное тело действует на тело, осуществляющее связь, и реакция этой связи всегда имеют равные модули и противоположные направления.
  5. Связи можно отбросить, заменив их действие реакциями связей.
  6. Если деформируемое (не абсолютно твердое) тело, находящееся под действием данных сил в состоянии равновесия, станет абсолютно твердым (отвердеет), то его равновесие не нарушится.
    Этот закон называется принципом отвердевания. Из этого закона следует, что условия, которым должны удовлетворять при равновесии силы, приложенные к абсолютно твердому телу, необходимо должны соблюдаться и при равновесии тела деформируемого. Этот закон устанавливает связь между статикой абсолютно твердого тела и статикой деформируемых тел. Условия равновесия деформируемой систем совпадают с условиями равновесия твердого тела той же конфигурации.
  7. Равновесие не нарушится от наложения новых связей.

Основные типы реакций связей

 В задачах статики почти всегда приходится рассматривать равновесие несвободного тела, т. е. закрепленного или имеющего ту или иную опору тела . В зависимости от характера закрепления тела или от вида опоры можно указать следующие основные типы связей:
  1. Тело опирается на неподвижную поверхность в точке А; в этом случае реакция опорной поверхности приложена к телу в точке А и направлена при отсутствии трения по нормали к опорной поверхности в этой точке. Поэтому эта сила называется нормальной реакцией и обозначается обычно через N. Связь осуществляется посредством идеально гладкой неподвижной плоскости или поверхности.
       
  2. Тело опирается на неподвижную точку А (например, на острый конец неподвижного стержня), в этом случае реакция N стержня приложена к телу в точке А и направлена по нормали к поверхности тела, если трения между телом и опорой нет.
  3. Тело опирается на неподвижную линию (например, на ребро двугранного угла). В этом случае реакция опоры при отсутствии трения направлена по нормали к поверхности данного тела.
  4. Связь осуществляется при помощи гибкого тела (нити, каната, цепи). Реакция такой связи (реакция нити) приложена к телу в точке прикрепления к нему нити и направлена вдоль этой нити, где S изображают реакцию нити, на которую подвешено данное тело.
  5. Неподвижный цилиндрический шарнир. На неподпижный болт надевается втулка, жестко скрепленная со стержнем АВ, причем внутренний диаметр втулки равен диаметру болта. Тело, жестко скрепленное со стержнем АВ, может только вращаться вокруг оси шарнира, перпендикулярной к плоскости рисунка.
    Если пренебречь трением в шарнире, то реакция неподвижного болта направлена по нормали к его цилиндрической поверхности в той точке, где поверхность втулки прижимается к болту и лежит в плоскости, перпендикулярной к оси болта. Таким образом, если связь осуществлена посредством неподвижного цилиндрического шарнира, вокруг оси которого тело может вращаться, то направления реакции такой связи заранее указать нельзя; эта реакция может иметь любое направление, перпендикулярное к оси шарнира, в зависимости от положения данного тела и приложенных к нему других сил.
  6. Связь осуществляется при по мощи сферического шарнира (смотри рисунок). В этом случае тело может перемещаться так, что точка О (центр сферического шарнира) остается неподвижной. Направления реакции и в этом случае заранее указать нельзя; эта реакция, нормальная к поверхности сферического шарнира, может быть направлена по любой нормали к этой сферической поверхности, т. е. по любой прямой, проходящей через неподвижную точку О.
Освобождение от связей при различных соединениях тел (неподвижный цилиндрический шарнир и контакт).
  
Освобождение от связи на примере жёсткой заделки.

Разложение силы

 Чтобы разложить данную силу F на две силы по двум заданным направлениям, лежащим с ней в одной плоскости достаточно из конца вектора F провести прямые, параллельные данным прямым I и II, до их пересечения с этими прямыми в точках В и С (смотри рисунок). Векторы AB и AC определяют искомые составляющие силы.
 Чтобы разложить данную силу F на две силы, лежащие с ней в одной плоскости и имеющие заданные численные значения. Из начала А и конца В вектора F проводим две дуги радиусами, равными в выбранном масштабе заданным значениям F1 и F2. Эти дуги пересекутся в точках С и D; дополним треугольники АСВ и ADB до соответствующих параллелограммов, в которых АВ является диагональю. Тогда векторы AC и AD или AD и AK определят искомые составляющие силы. Отсюда видим, что соответственно двум точкам (С и D) пересечения дуг окружностей задача имеет два решения.
 Чтобы разложить данную силу F на три силы по трем заданным направлениям, не параллельным одной плоскости (например, по трем взаимно перпендикулярным координатным осям). Для этого на основании правила параллелепипеда достаточно построить такой параллелепипед, ребра которого имели бы заданные направления и диагональю которого являлась бы данная сила (смотри рисунок).

Система сходящихся сил

 Система сил называется сходящейся, если линии действия сил пересекаются в одной точке (смотри рисунок). Так как точки приложения сходящихся сил можно перенести по линиям их действия в точку пересечения этих линий, то систему сходящихся сил всегда можно заменить системой сил, приложенных в одной точке.
 Применяя последовательно аксиому 4, можно найти равнодействующуюсистемы сходящихся сил.
 Равнодействующая трех сил, приложенных в одной точке и не лежащих в одной плоскости, равна по модулю и направлению диагонали параллелепипеда, построенного на этих трех силах. Полезно заметить, что при нахождении равнодействующей двух сил нет надобности строить весь параллелограмм. В этом случае следует применить правило многоугольника сложения нескольких векторов (смотри рисунок).
 Равнодействующая нескольких сходящихся сил выражается по модулю и направлению вектором, соединяющим начальную и конечную точки ломаной линии, стороны которой представляют собой векторы, равные векторам, изображающим данные силы, или, другими словами, вектором, замыкающим эту ломаную линию. Линия действия этой равнодействующей проходит через точку пересечения линий действия данных сил.
 Пправило, определяющее модуль и направление равнодействующей, называется правилом силового многоугольника, а ломаная линия ABCDE называется силовым многоугольником.

Условия равновесия сходящейся системы сил

 Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил равнялась нулю.
 Равнодействующая R изображается вектором, замыкающим силовой многоугольник; следовательно. Для того, чтобы равнодействующая равнялась нулю, силовой многоугольник должен быть замкнутым, т. е. его конечная точка должна совпадать с начальной точкой.
  Условие равновесия системы сходящихся сил в геометрической форме: для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный для этой системы, был замкнутым.
 Известно, что модуль равнодействующей определяется по формуле
,
отсюда следует, что при равновесии должно иметь место равенство
.
Так как ни одно из слагаемых, стоящих в левой части, не может быть отрицательным, то это равенство возможно в том и только в том случае, если
.
Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех этих сил на каждую из трех координатных осей равнялась нулю.

Теорема о трёх силах

 Если три непараллельные силы, лежащие в одной плоскости, уравновешиваются, то их линии действия пересекаются в одной точке (смотри рисунок).
,
потому по аксиоме № 1 эти две силы R1,2 и F3 должны быть равны по модулю и направлены по одной прямой в противоположные стороны. Поэтому линия действия силы F3 совпадает с линией действия силы R1,2 и, следовательно, проходит через точку В, что и требовалось доказать.

Примеры

 Пример 1.Три нити связаны в узел С ; две из них перекинуты через блоки А и В, и к концам их подвешены грузы весом P1 = 3 кг и Р2 = 5 кг. К концу, третьей нити подвешен груз весом Р3 при этом Ð ACB = 60°. Найти величину Р3, если вся система находится в равновесии (смотри рисунок).
 Решение. На узел С действуют три силы: сила P1 направленная по СА, сила Р2, направленная по СВ, и сила Р3, направленная по вертикали вниз. Сложив первые две силы, найдем их равнодействующую R, по теореме косинусов будем иметь:
R2 = 32 + 52 + 2·3·5·cos 60° = 49.
Так как эта сила R уравновешивается силой Р3, то R = Р3 = 7 кг.
 Пример 2. Диск радиусом 12 см и весом Р = 2кн перетаскивается силой F = 1,79кн под углом α = 45 ° через выступ 6 см. Найти силу R, с которой диск давит на этот выступ.
 Решение. Строим силовой треугольник
Используя теорему синусов, имеем
.
  Пример 3. Шар весом Р опирается в точке А на наклонную плоскость, образующую с вертикалью угол α, и привязан к стене веревкой, которая образует с вертикалью угол β. Определить реакцию плоскости в точке А и натяжение веревки (смотри рисунок).
 Решение. Обозначим искомую реакцию плоскости, направленную по нормали An к этой плоскости, через N, а реакцию веревки, численно равную ее натяжению, — через Т. Линии действия всех трех сил N, Т и Р пересекаются в центре шара О. Примем вертикаль и горизонталь в точке О за координатные оси. Замечая, что Ð BOy = β и Ð nОх = α (эти углы равны, так как стороны одного угла перпендикулярны к сторонам другого), находим проекции сил N, Т и Р на эти оси
Nx = N cos α ; Ny = N sin α ; Tx = - T sin β ; Ty = T cos β; Px = 0; Py = - P.
 Условия равновесия имеют, следовательно, такой вид: Умножая первое уравнение на cos β, а второе на sin β и складывая их, получим:
N ( cos α cos β + sin α sin β ) = P sin β,
откуда
;
теперь из первого уравнения находим
.
Полагая здесь β = α, получим:
N = P sin α и T = P cos α;
это решепие соответствует тому случаю, когда веревка, удерживающая шар, параллельна наклонной плоскости.
 Если положим α = 0, то будем иметь:
N = P tg β и ;
эти значения соответствуют тому случаю, когда шар опирается на вертикальную плоскость.
 Решим теперь эту же задачу графически (смотри рисунок). Для этого нужно построить замкнутый силовой многоугольник. Из произвольной точки а проводим вектор ab, параллельный данной силе Р, длина которого в выбранном масштабе изображает модуль этой силы; через точки а и b проводим прямые, параллельные прямым ОB и An, по которым направлены искомые силы Т и N; эти прямые пересекутся в точке с; векторы bc и са определяют искомые силы N и Т. Чтобы найти направление искомых сил на силовом треугольнике, нужно, как легко понять из рисунка обойти этот треугольник по его периметру, причем направление этого обхода определяется направлением данной силы Р. Измерив длину сторон ас и bс и зная масштаб, в котором построена сила Р, найдем численные значения сил Т и N.
 Построение силового многоугольника всегда нужно начинать с известных, заданных в задаче сил.