К разделу

Лекция 2

К содержанию
  1. Алгебраический момент силы относительно точки.
  2. Векторный момент силы относительно точки.
  3. Момент силы относительно оси.
  4. Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси.
  5. Формулы для моментов силы относительно осей координат.
  6. Примеры.

Алгебраический момент силы относительно точки

 Алгебраическим моментом силы относительно точки называют алгебраическую величину произведения модуля силы на плечо силы относительно этой точки, взятой со знаком ''+'' или ''−'': Mo(F) = ±F·h.
 Плечом h силы F  относительно точки называют кратчайшее расстояние этой точки до прямой, на которой лежит сила.
Если сила ''вращает'' плечо против часовой стрелки, то алгебраический момент считаем положительным Mo(F) = F·h.
Если сила ''вращает'' плечо по часовой стрелке, то алгебраический момент считаем отрицательным Mo(F) = −F·h.
 Если линия действия силы проходит через точку, то алгебраический момент силы относительно такой точки равен нулю Mo(F) = 0. Размерность алгебраического момента силы равна [Mo(F)] = н·м ньютон на метр. Геометрически алгебраический момент силы по величине равен удвоенной площади треугольника ОАВ, где О – точка, относительно которой вычисляется алгебраический момент, А и В – начальная и конечная точка вектора силы Mo(F) = ± 2·SOAB.

Векторный момент силы относительно точки

 Веторным моментом силы F = AB относительно точки O равен векторному произведению радиуса-вектора точки приложения силы OA на вектор силы AB
Mo(AB) = OA×AB = r × F.
 По модулю векторный момент силы относительно центра равен алгебраическому моменту силы относительно того же центра
| Mo(F) | = r·F sin α = F·d = Mo(F),
где d = r·sin (π − α) = r·sin α – плечо силы. (смотри рисунок)
 Свойства векторного момента силы определяются свойствами векторного произведения двух векторов r × F и для векторного момента силы имеют место соотношения
,
где
проекции вектора Mo(F)  на оси координат. (смотри рисунок)
 Величина векторного момента и его направляющие косинусы определятся из соотношений
,
.
  1. Момент силы относительно точки равен нулю, если линия действия силы проходит через точку.
  2. При переносе силы вдоль линии её действия момент силы относительно точки не изменится. (смотри рисунок)

Момент силы относительно оси

 Моментом силы относительно оси называют алгебраический момент проекции этой силы на плоскость, перпендикулярную к оси, относительно точки пересечения оси с этой плоскостью. (смотри рисунок)
 Если смотреть против направления оси и видеть, что проекция силы будет вращать плечо этой проекции относительно точки пересечения оси и плоскости проектирования силы против часовой стрелки, то момент силы относительно оси положительный.
 Если смотреть против направления оси и видеть, что проекция силы будет вращать плечо этой проекции относительно точки пересечения оси и плоскости проектирования силы по часовой стрелке, то момент силы относительно оси отрицательный.
 Геометрически момент силы относительно оси численно равен удвоенной площади треугольника с вершиной в точке пересечения оси с плоскостью проектирования силы и основанием, равным по величине проекции силы
Mz(F) = ±Fпр·h = ± 2 SΔ.
Следует отметить некоторые особые случаи: момент силы относительно оси равняется нулю, если ось и сила лежат в одной плоскости. Этот случай имеет место, если:
  1.  Сила параллельна оси. В этом случае равна нулю проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси.
  2. Линия действия силы пересекает эту ось. В этом случае линия действия проекции силы на плоскость, перпендикулярную к оси, проходит через точку пересечения оси с плоскостью и, следовательно, равняется нулю плечо силы относительно точки О.

Связь момента силы относительно оси с векторным моментом силы относительно точки на оси

 Момент силы относительно оси равен проекции на эту ось векторного момента силы относительно любой точки на этой оси. (смотри рисунок)
  Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть е является ортом оси. Воспользовавшись свойствами скалярного и смешанного произведения векторов, получим
Mz(F) = Прz Mo( F ) = ( r × F )·e = e·( r × F ) = ( e × r )· F.
Так как
|e × r| = | e |·| r |·sin α = d = const,
то
e × r = const
и от выбора точки на числовой оси не зависит.

Формулы для моментов силы относительно осей координат

 По определению векторного момента силы относительно точки и векторного произведения в координатной форме, получим координаты векторного момента силы

Примеры

 П р и м е р 1. Сила величиной р и образующая с осями координат углы α, β и γ , приложена в точке с координатами (x0, y0, z0). Найти моменты силы относительно осей координат.
 Р е ш е н и е. Используя выражения координат силы и формулы для координат векторного момента, получим
 П р и м е р 2. Найти моменты силы F, приложенной в точке с координатами A (0, a, 0), лежащей в плоскости с уравнением y = a (смотри рисунок).
Р е ш е н и е.
Mx(F) = − F·a·sin α, My(F) = 0, Mz(F) = − F·a·cos α.