К разделу

Лекция 5

К содержанию
  1. Приведение силы к заданному центру.
  2. Основная теорема статики (Теорема Пуансо).
  3. Формулы для вычисления главного вектора и главного момента.
  4. Условия равновесия сил в векторной форме.
  5. Условие равновесия пространственной системы сил в аналитической форме.
  6. Условия равновесия плоской системы сил.
  7. Случаи приведения к равнодействующей силе.
  8. Случай приведения к паре сил.
  9. Теорема о моменте равнодействующей силы (Теорема Вариньона).
  10. Теорема о трёх моментах (вторая форма условий равновесия).
  11. Третья форма условий равновесия.

Приведение силы к заданному центру

 Силу можно переносить параллельно самой себе в любую точку твёрдого тела, добавляя при этом пару сил, векторный момент которой равен векторному моменту переносимой силы относительно новой точки приложения силы. (смотри рисунок)
 Пусть имеем силу F, приложенную к твердому телу в в точке А. Известно, что силу, приложенную к твердому телу, можно переносить вдоль ее линии действия, от чего действие силы на твердое тело не изменяется. Теперь докажем, что силу можно переносить на другую, параллельную линию действия. Но этот перенос следует компенсировать добавлением соответствующей пары сил. Приложим в точке тела В, выбранной за центр приведения,систему двух равных по величине, но противоположных по направлению сил F1 и F2, параллельных заданной силе F. Система сил F1 и F2 составляет систему сил, эквивалентную нулю, и ее можно добавить к любой заданной системе сил. Пусть по величине | F | = | F1 | = | F2 |. Тогда
{ F } ↔ { F, F1, F 2 } ↔ ( F 2, {F, F1} }.
 Система двух равных по величине и противоположных по направлению параллельных сил {F, F1} составляет пару сил, которую называют присоединенной парой сил.
 Итак, вместо силы F, приложенной в точке А, получена сила F 2, равная ей по величине и направлению, но приложенная в точке В| и присоединенная пара сил {F, F1}, векторный момент которой
M {F, F1} = MB ( F).
 Процесс замены силы F силой F2 и парой сил {F, F1} называй приведением силы F к заданному центру В. По теореме об эквивалентности пар сил пару {F, F1} можно заменить любой другой парой сил с таким же векторным моментом.

Основная теорема статики (Теорема Пуансо)

 Любую произвольную систему сил, действующих на твёрдое тело, можно в общем случае привести к силе и паре сил. (смотри рисунок)

{ F1, F2, …, Fn } ↔ { {F1, F2, …, Fn }0, { F1, − F10}, {F2, − F20 …, {Fn, − Fn0 }}, ↔ { R, М0 }, где и .
 Главным вектором системы сил называют вектор, равный векторной сумме этих сил. Эта сумма изображается вектором, замыкающим многоугольник, построенный на силах, т. е.
.
 Главным моментом системы сил относительно точки О тела называют сумму векторных моментов всех сил системы относительно этой точки
.

Формулы для вычисления главного вектора и главного момента

, .
 Главный вектор R геометрически выражается замыкающей силового многоугольника. Проекции, величина и направляющие косинусы главного вектора определяются соотношениями
 Проекции, величина и направляющие косинусы главного момента определяются соотношениями
 Для плоской системы эти соотношения имеют вид:
М0 – главный алгебраический момент.

Условие равновесия системы сил в векторной форме

 Для равновесия системы сил, приложенных к твёрдому телу, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор системы сил и их главный момент относительно любого центра приведения равнялись нулю.
{ F1, F2, …, Fn } ↔ { R, М0 } ↔ 0 ↔ R = 0, М0 = 0.

Условия равновесия пространственной системы сил в аналитической форме

{ Rx = 0, Ry = 0, Rz = 0; Mx = 0, My = 0, Mz = 0 }
 Для равновесия произвольной системы сил, приложенных к твёрдому телу, необходимо и достаточно, чтобы три суммы проекций всех сил на оси декартовых координат равнялись нулю и три суммы моментов всех сил относительно трёх осей координат равнялись нулю.

Условия равновесия плоской системы сил (первая форма)

   Для равновесия плоской системы сил, действующих на твёрдое тело, необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций сил, на каждую из двух взаимно перпендикулярных осей координат, лежащих в плоскости действия сил, равнялись нулю и сумма алгебраических моментов этих сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, также равнялась нулю.
 
 Для равновесия плоской системы параллельных сил, действующих на твёрдое тело, необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сил равнялась нулю и сумма алгебраических моментов сил относительно любой точки, лежащей в плоскости действия сил, также равнялась нулю.

Случай приведения к равнодействующей силе


 Если при приведении системы сил к какому-либо центру окажется, что главный вектор R ≠ 0, а главный момент M0 = 0, то такая система сил приводится к одной силе R, равнодействующей системе сил. Равнодействующая сила R в этом случае проходит через центр приведения, а по величине и направлению совпадает с главным вектором.
 Если главный вектор R ≠ 0, главный момент M0 ≠ 0, и R·M0 = 0, то такую систему можно упростить и привести к одной равнодействующей силе R*. Эта сила по величине и направлению совпадает с главным вектором R, но её линия действия отстоит от первоначального центра на расстоянии
.
{ R, М0 } ↔ { R, R ', R* } ↔ R* так как {R, R } ↔ 0.

Случай приведения к паре сил

 Если при приведении системы сил к какому-либо центру окажется, что главный вектор R = 0, а главный момент M0 ≠ 0, то такую плоскую систему сил можно привести к одной паре сил, момент которой равен главному моменту системы сил относительно центра приведения, и в этом случае главный момент не зависит от выбора центра приведения.

Теорема о моменте равнодействующей силы (Теорема Вариньона)

 Векторный момент равнодействующей рассматриваемой системы сил относительно любой точки равен сумме векторных моментов всех сил этой системы относительно той же точки. (смотри рисунок)
Доказательство. По условию теоремы { F1, F2, …, Fn } ↔ R и при этом . Векторное произведение главного вектора приводит к соотношениям
.

Теорема о трёх моментах (вторая форма условий равновесия)

 Для равновесия плоской системы сил, приложенной к твёрдому телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма алгебраических моментов сил системы относительно трёх любых точек, расположенных в плоскости действия сил и не лежащих на одной прямой, равнялась нулю, то есть:
 Доказательство.

Откуда следует R = 0.

Третья форма условий равновесия

 Для равновесия плоской системы сил, приложенных к твёрдому телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма алгебраических моментов сил относительно двух любых точек, лежащих в плоскости действия сил, равнялись нулю и алгебраическая сумма проекций этих сил на какую-либо ось плоскости, не перпендикулярную прямой, проходящей через две моментные точки, также равнялись нулю.
;
Для равновесия плоской системы параллельных сил, приложенных к твёрдому телу, необходимо и достаточно, чтобы сумма алгебраических моментов относительно двух любых точек, лежащих в плоскости действия сил, равнялись нулю.