К разделу

Лекция 6

К содержанию
  1. Соотношения между главными моментами системы сил относительно двух различных центров приведения.
  2. Инварианты системы сил.
  3. Частные случаи приведения пространственной системы сил к простейшим системам.
  4. Уравнение динамической оси.
  5. Пример.
  6. Решение задачи в пакете MAPLE.

Соотношения между главными моментами системы сил относительно двух различных центров приведения

 Главный момент системы сил относительно второго центра приведения равен геометрической разности между главным моментом относительно первого центра и моментом главного вектора, приложенного во втором центре приведения, относительно первого.
. (1)

Инварианты системы сил

  1. а) Первый инвариант. Главный вектор системы сил не зависит от центра приведения.
    .
  2. б) Второй инвариант. Скалярное произведение главного вектора и главного момента системы сил для любого центра приведения есть величина постоянная.
    Mo' = Mo − OO'×R,
    Mo'·R = (Mo − OO'×R)·R = Mo·R −(OO'×R)·R = Mo·R.
    Расписывая скалярные произведения в координатной форме, получим
    Mo'x·Rx + Mo'y·Ry + Mo'z·Rz = Mox·Rx + Moy·Ry + Moz·Rz
    Второй инвариант можно выразить в другой форме: проекция главного момента на направление главного вектора для любого центра приведения есть одна и та же величина
    ПРRMo = ПРRMo'.

Частные случаи приведения пространственных систем к простейшим системам


  1. R ≠ 0; M0 ≠ 0; R·M0 ≠ 0 – динамический винт.
  2. R ≠ 0; M0 ≠ 0; R·M0 = 0 – система приводится к равнодействующей.
  3. R ≠ 0; M0 = 0 – система приводится к равнодействующей.
  4. R = 0; M0 ≠ 0 – система приводится к паре сил.
  5. R = 0; M0 = 0 – система находится в равновесии.

Уравнение динамической оси

 Геометрическое место центров приведения, в которых главный вектор и главный момент системы сил коллинеарны, называется центральной осью системы сил, или осью динамы. То есть на динамической оси имеет место соотношение M0 ' = p·R, Скалярная величина р называется параметром динамы. Из условий коллинеарности векторов следует пропорциональность координат главного момента и главного вектора системы сил (смотри рисунок)
. (2)
Используя соотношение (1), в котором радиус вектор точек центральной оси имеют координаты О ' ( x, y, z ), запишем соотношение (2) в виде

. (3)
Уравнение (3) будет кагоническим уравнением прямой в пространстве, то есть будет уравнением центральной оси системы сил.

Пример

Привести систему сил к простейшей
P1=30 H; P2= 40 H; P3=50 H; P4=10 H;
a = 0,5м; b = 0,6; c = 0,5; d = 0,3 м; α = 45°.
Р е ш е н и е. Находим проекции главного вектора на оси координат: Rx = P1 = 30 H; Ry = P4 = 10 H; Rz = - P2 - P3 = - 40 - 50 = - 90 H.
Найдём модуль главного вектора
Найдём координаты главного момента Mx = 0; My = P1·[b - (a - d)·tg 45°] + P3·c ≈ 29,24 ; Mz = - P1·d = - 30·0,3 = - 9.
Находим модуль главного момента
.
Находим второй инвариант M·R = RxMx + RyMy + RzMz = 30·0 + 10·(25 + 3·√2) + (- 90)·(- 9) = 310 + 810 ≈1102,4 ≠ 0. Так как второй инвариант не равен нулю, то система сил приводится к динаме. Минимальный момент динамы равен
.
Составим уравнение центральной оси динамы (3)
,
или
 (4)
Приводя в системе подобные, получим
Решив систему уравнений
найдём след прямой на плоскости xoy: x = 0,31; y = 0,04; z = 0. Решив систему уравнений
найдём след прямой на плоскости xoz: x = 0,19; y = 0; z = 0,36. В параметрическом виде уравнение оси динамы определится соотношениями
Зная координаты следов прямой в пространстве, можно теперь построить саму ось динамы

Решение задачи в пакете MAPLE

> restart:with(linalg):with(geom3d):
> P[1]:=30:P[2]:=40:P[3]:=50:P[4]:=10:#Величины действующих сил
> a:=0.5:b:=0.6:c:=0.5:d:=0.3:#Линейные размеры конструкции
> alpha[1]:=0:beta[1]:=Pi/2:delta[1]:=Pi/2:#Направляющие углы первой силы
> alpha[2]:=Pi/2:beta[2]:=Pi/2:delta[2]:=Pi:#Направляющие углы второй силы
> alpha[3]:=Pi/2:beta[3]:=Pi/2:delta[3]:=Pi:#Направляющие углы третей силы
> alpha[4]:=Pi/2:beta[4]:=0:delta[4]:=Pi/2:#Направляющие углы четвёртой силы
> P1:=linalg[matrix](3,1,[P[1]*cos(alpha[1]),P[1]*cos(beta[1]),P[1]*cos(delta[1])]):#Вектор первой силы
> P2:=linalg[matrix](3,1,[P[2]*cos(alpha[2]),P[2]*cos(beta[2]),P[2]*cos(delta[2])]):#Вектор второй силы
> P3:=linalg[matrix](3,1,[P[3]*cos(alpha[3]),P[3]*cos(beta[3]),P[3]*cos(delta[3])]):#Вектор третей силы
> P4:=linalg[matrix](3,1,[P[4]*cos(alpha[4]),P[4]*cos(beta[4]),P[4]*cos(delta[4])]):#Вектор четвёртой силы
> R:=evalm(P1+P2+P3+P4);#Главный вектор системы сил
.
> NR:=norm(R,2);# Величина главного вектора
> NC:=linalg[matrix](3,1,[R[1,1]/NR,R[2,1]/NR,R[3,1]/NR]);# Направляющие косинусы главного вектора
.
> r1 := linalg[matrix](3,1,[0,d,(a-d)*sin(Pi/4)]):# Радиус вектор точки приложения первой силы
> r2 := linalg[matrix](3,1,[0,0,0]):# Радиус вектор точки приложения второй силы
> r3 := linalg[matrix](3,1,[c,0,0]):# Радиус вектор точки приложения третей силы
> r4 := linalg[matrix](3,1,[0,0,0]):# Радиус вектор точки приложения четвёртой силы
> M1:=linalg[matrix](3,1,[r1[2,1]*P1[3,1]-r1[3,1]*P1[2,1],r1[3,1]*P1[1,1]-r1[1,1]*P1[3,1],r1[1,1]*P1[2,1]-r1[2,1]*P1[1,1]]);# Векторный момент силы P1 относительной начала координат
> M2:=linalg[matrix](3,1,[r2[2,1]*P2[3,1]-r2[3,1]*P2[2,1],r2[3,1]*P2[1,1]-r2[1,1]*P2[3,1],r2[1,1]*P2[2,1]-r2[2,1]*P2[1,1]]);# Векторный момент силы P2 относительной начала координат
> M3:=linalg[matrix](3,1,[r3[2,1]*P3[3,1]-r3[3,1]*P3[2,1],r3[3,1]*P3[1,1]-r3[1,1]*P3[3,1],r3[1,1]*P3[2,1]-r3[2,1]*P3[1,1]]);# Векторный момент силы P3 относительной начала координат
> M4:=linalg[matrix](3,1,[r4[2,1]*P4[3,1]-r4[3,1]*P4[2,1],r4[3,1]*P4[1,1]-r4[1,1]*P4[3,1],r4[1,1]*P4[2,1]-r4[2,1]*P4[1,1]]);# Векторный момент силы P4 относительной начала координат
> M:=evalm(M1+M2+M3+M4);# Главный момент системы сил относительно начала координат
> NM:=norm(M,2);#Величина главного момента
> inv2:=evalm(transpose(M) &* R);#Второй инвариант
> Mmin:=inv2[1,1]/NR;#Вычисление минимального вращающего момента
> eq1:=(M[1,1]-(y*R[3,1]-z*R[2,1]))/R[1,1]-(M[2,1]-(z*R[1,1]-x*R[3,1]))/R[2,1]=0;
> eq2:=(M[2,1]-(z*R[1,1]-x*R[3,1]))/R[2,1]-(M[3,1]-(x*R[2,1]-y*R[1,1]))/R[3,1]=0;#уравнения 1 и 2 определяют систему оси динамы
> sisXOY:={eq1,eq2,z=0};
> s1:=solve(sisXOY);#след прямой на плоскости xoy
> sisXOZ:={eq1,eq2,y=0};
> s2:=solve(sisXOZ);#след прямой на плоскости xoz
> plane(p1,(M[1,1]-(y*R[3,1]-z*R[2,1]))/R[1,1]-(M[2,1]-(z*R[1,1]-x*R[3,1]))/R[2,1]=0,[x,y,z]):plane(p2,(M[2,1]-(z*R[1,1]-x*R[3,1]))/R[2,1]-(M[3,1]-(x*R[2,1]-y*R[1,1]))/R[3,1]=0,[x,y,z]): line(l1,[p1,p2]):eq:=Equation(l1,'t');# Параметрическое уравнение прямой
> with(plots):spacecurve(eq,t=-0.01..0.14, thickness=4, color=black);# Построение центральной оси системы сил