К разделу

Лекция 8

К содержанию
  1. Приведение пространственной системы параллельных сил к простейшей системе.
  2. Центр системы параллельных сил.
  3. Определение центра тяжести тела.
  4. Центр тяжести симметричных однородных тел.
  5. Метод отрицательных масс.
  6. Центр тяжести дуги окружности.
  7. Центр тяжести кругового сектора.
  8. Центр тяжести объёма конуса.

Приведение пространственной системы параллельных сил к простейшей системе

В этом случае . Пространственную систему параллельных сил нельзя привести к динаме, можно привести к равнодействующей силе, паре сил или эта система будет находиться в равновесии.
   При равновесии пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраическая сумма проекций всех сил на ось, параллельную линиям действия сил, равнялась нулю и чтобы алгебраическая сумма моментов всех сил относительно каждой из двух координатных осей, не параллельных линиям действия сил, также равнялась нулю.
Rz = 0; Mx = 0; My = 0.

Центр системы параллельных сил

Эта формула определяет положение центра С12 двух параллельных сил  и . Определим радиус вектор центра приложения трёх параллельных сил
.
Определим радиус вектор центра приложения n параллельных сил
.                                   (1)
В проекциях на координатные оси
   Вывод формулы (1) можно осуществить другим путём
; ; …
тогда
По теореме Вариньона имеем
тогда

или

 и это верно для любого вектора , откуда следует
или

Определение центра тяжести тела

   Центром тяжести тела называют точку, являющуюся центром параллельных сил тяжести, приложенных к отдельным элементарным частицам тела (смотри рисунок).
   Если частица имеет объём ΔVi, то Δ mi = ρi· ΔVi, где ρi есть объёмная плотность частицы.
   Если тело представляет собой материальную поверхность, то Δ mi = ρi· Δσi, где ρi есть поверхностная плотность, Δσi есть элемент поверхности.
   В случае материальной линии Δ mi = ρi· Δli , где ρi есть есть линейная плотность, Δli длина элемента линии
или
   Определим центр тяжести поверхности
или
   Определим центр тяжести лини
или в проекциях

Центры тяжести симметричных однородных тел

   Если однородное твёрдое тело имеет плоскость геометрической симметрии, то центр тяжести этого тела находится в этой плоскости.
   Если однородное твёрдое тело имеет ось геометрической симметрии, то центр тяжести этого тела находится на этой оси.
   Если однородное твёрдое тело имеет центр геометрической симметрии, то центр тяжести этого тела находится в этом центре. Аналогично для поверхности и линии.
Пусть тело с мерой τ разделено на части с мерами τ1, τ2, τ3, центры тяжести которых известны и находятся в точках С 1, С 2,С 3. В этом случае имеем
.

Метод отрицательных масс

   Пусть твёрдое тело имеет пустые полости. Пусть данная полость имеет объём V2 и центр тяжести её С2. Центр тяжести тела фактически заполненного материей есть С, а его объём V. Рассмотрим сплошное тело без пустой полости, объём которого V1. В этом случае V = V1 + V2 и С1 его центр тяжести. Тогда
.
Отсюда
.

Центр тяжести дуги окружности

Центр тяжести кругового сектора

Центр тяжести объёма конуса

Центр тяжести конуса находится на расстоянии ¼h от центра основания конуса или zc = ¾ h считая от вершины.