К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 3. Полный дифференциал первого порядка

   Если функция z = F(x, y) имеет точке (x; y) непрерывные частные производные, то ее полное приращение может быть представлено в виде:
                        (1)
где ε → 0 при . Тогда выражение есть главная часть полного приращения Δz; она называется полным дифференциалом функции и обозначается dz:
.                        (2)
Полагая в формуле (2) z равным:1) x; 2) y, найдем: dx = Δx, dy = Δy. Поэтому
                        (3)
Из (1) следует, что
Δ z ≈ dz,                        (4)
т. е. при достаточно малых Δx и Δy полное приращение функции приближенно равно ее полному дифференциалу (гл. V, §7).
   Функция F(x, y) называется дифференцируемой в точке (x; y), если она имеет в этой точке полный дифференциал.

1884. Найти полные дифференциалы функций: 1) z = x²y; 2) 3) u = e s/t; 4) . (видео)

1885. Найти значение полного дифференциала: (видео)
  1. при x = 2, у = 1, dx = 0,1, dy = 0,2.
  2. u = e xy при x = 1, y = 2, dx = - 0,1, dy = 0,1.
1886. Вычислить dz и Δz для функции z = xy при x = 5, y = 4, Δx = 0,1, Δy = -0,2.

1887. Подсчитать приближенно изменение функции , когда x изменяется от 2 до 2,1, а у - от 3 до 2,5.

1888. При деформации цилиндра его радиус R увеличился с 20 см до 20,5 см, а высота H уменьшилась со 100 см до 98 см. Найти приближенно изменение объема V по формуле ΔV ≈ dV. (видео)

1889. Катеты прямоугольного треугольника, измеренные с точностью до 0,1 см, оказались равными 7,5 см и 18 см. Определить абсолютную погрешнсть при вычислении гипотенузы.

1890. Найти полные дифференциалы функций: 1) ; 2) s = x ln t; 3) .

1891. Найти значение dz и Δz для функции z = ln (x² + y²), когда x изменяется от 2 до 2,1, а y – от 1 до 0,9.

1892. Подсчитать приближенно изменение функции , когда x изменяется от 5 до 4,5, а у – от 3 до 3,3.

1893. При деформации конуса его радиус R увеличился с 30 см до 30,1 см, а высота H уменьшилась с 60 см до 59,5 см. Найти приближенно изменение объема по формуле ΔV ≈ dV.