К разделу
Главная страница раздела 1
Главная страница раздела 2
Предметный указатель
Ответы

§ 3. Скалярное произведение двух векторов

   1°. О п р е д е л е н и е. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей, умноженное на косинус угла между ними.
   Скалярное произведение вектора a на вектор b обозначается a·b. Итак,
a·b = a b cos φ. (1)
Из рис. 18 видно, что b cos φ = прa b = прb a. Поэтому
a·b = ab cos φ = a·прa b = b·прb a (2)
2°. Свойства скалярного произведения:
  1.  a·b = b·a - переместительный закон.
  2.  a · (b + c) = a · b + a · c - распределительный закон.
  3. Если a || b то a · b = ± ab. В частности, a2 = a·a = a·a· cos 0° = a2; отсюда
    (3)
  4. Если a b, то a ·b = ab cos 0° = 0.
  5. Скалярное произведение ортов: i·j = 0, j·k = 0, i·k = 0, i·i = 1, j·j = 1, k·k = 1.
  6. Если векторы a и b заданы координатами: a {ax ,ay, az} и b {bx, by, bz}, то
    (4)
3°. Угол между векторами:
(5)
   Условие параллельности: b = m·a или .
   Условие перпендикулярности: a·b = 0 или ax bx + ay by + az bz = 0.

399. Определить угол между векторами a = − i + j и b = i − 2j + 2k.

400. Определить углы Δ ABC с вершинами А(2; − 1; 3), В(1; 1; 1) и С(0; 0; 5).

401. Даны точки А(а; 0; 0), В(0; 0; 2а) и С(а; 0; а). Построить векторы OC и AB и найти угол между ними.

402. На плоскости дан треугольник с вершинами О(0; 0), А(2а: 0) и В(а; − а). Найти угол, образованный стороной ОВ и медианой ОМ этого треугольника.

403. Найти угол между биссектрисами углов xOy и yOz.

404. Из вершины квадрата проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол между этими прямыми.

405. Найти угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах а = 2i + j и b = − 2i + k.

406. Даны векторы a = i + j + 2k и b = i − j + 4k. Определить прba и прab.

407. Раскрыть скобки в выражении (2i − j)·j + (j − 2k) ·k + (i − 2k)2 .

408. Вычислить: 1) (m + n)2, если m и n - единичные векторы с углом между ними 30°; 2) (a − b)2, если a = 2√2, b = 4 и .

409. Раскрыть скобки в выражениях: 1) (a + b)2; 2)  (a + b)2 + (a − b)2 и выяснить геометрический смысл полученных формул.

410. Даны компланарные векторы a, b и c, причём a = 3, b = 2, c = 5, и . Построить вектор u = a + b − c и вычислить его модуль по формуле
. (видео)

411. Найти величину равнодействующей четырёх компланарных сил, приложенных к точке О, если величина каждой силы равна 10 Н, а угол между двумя последовательными силами равен 45°.

412. Определить длины диагоналей параллелограмма, построенного на векторах a = 2m + n и b = m − 2n, где m и n – единичные векторы, угол между которыми 60°.

413. Дан вектор а = 2m − n, где m и n - единичные векторы с углом 120° между ними. Найти и .

414. Определить угол между биссектрисами двух плоских углов правильного тетраэдра, проведёнными из одной его вершины.
Указание.Если m, n и р - единичные векторы рёбер, то m + n и m + р - векторы, направленные по биссектрисам.
415. На осях Ox, Oy и Oz отложить равные отрезки а = 4 и на них построить куб. Пусть М - центр верхней грани, а N - центр правой боковой грани куба. Определить векторы OM и ON и угол между ними.

416. Даны векторы OA = a и OB = b, причём а = 2, b = 4, а . Определить угол между медианой треугольника АОВ и стороной OA.

417. На вершины прямоугольника со сторонами 6 см. и 4 см. проведены прямые, делящие противоположные стороны пополам. Найти угол φ между ними.

418. Даны три последовательные вершины параллелограмма: А(− 3; − 2; 0), В(3; − 3; 1) и С(5; 0; 2). Найти его четвёртую вершину D и угол между векторами AC и BD.

419. Даны точки А(3; 3; − 2), В(0; − 3; 4), С(0; − 3; 0), D(0; 2; − 4). Построить векторы AB = а и CD = b и найти прab.

420. В равнобедренной трапеции ОАСВ ( рис. 16 ) M и N - середины сторон ВС = 2 и АС = 2. Острый угол трапеции 60°. Определить угол между векторами OM и ON.

421. Найти угол между векторами а = 2m + 4n и b = m − n, где m и n - единичные векторы, образующие угол 120°.

422. Показать, что угол между диагоналями прямоугольника, построенного на векторах a и b (a b), определяется формулой

.

423. Проекции перемещения движущейся точки на оси координат sx = 2 м, sy = 1 м, sz = − 2. Проекции действующей силы F на оси координат равны Fx = 5 H, Fy = 4 H и Fz = 3 H. Вычислить работу А силы F (A = F·s) и угол между силой F и перемещением s.

424. К вершине правильного тетраэдра с ребром а приложены три силы, изображаемые его вектор - рёбрами. Определить величину равнодействующей.
Указание. Искомая величина равна , где m, и р - единичные векторы данных сил.

425. Квадрат разделён на три полосы одинаковой ширины и затем свёрнут в правильную треугольную призму. Найти угол между двумя смежными звеньями ломаной, образованной при этом диагональю квадрата.