ЛЕКЦИЯ 3 На главную страницу 2-й части
  1. Уравнения с постоянными коэффициентами
  2. Пример решения уравнения первого порядка
  3. Пример решения уравнения второго порядка
  4. Пример решения уравнения третьего порядка
  5. Уравнения с переменными коэффициентами
  6. Пример решения уравнения с переменными коэффициентами

Уравнения с постоянными коэффициентами

 С помощью преобразования Лапласа можно весьма просто производить решение линейных дифференциальных (интегродифференциальных) уравнений с постоянными коэффициентами. Преобразуя заданное дифференциальное уравнение по Лапласу и учитывая при этом начальные условия, приходят к алгебраическому уравнению относительно изображения решения дифференциального уравнения. Решая алгебраическое уравнение, находится изображение решения дифференциального уравнения. Переход от изображения решения к самому решению может быть произведен способами, указанными выше. В ряде случаев можно воспользоваться также имеющимися таблицами соответствий «оригинал—изображение».
 Пример 1. Найти решение x (t) уравнения
x' + 5 x = 2,
удовлетворяющее начальному условию x(0) = 1.
 Решение. Обохначим Х (р) изображение искомой функции x (t) и с помощью теоремы дифференцирования оригинала найдём изображение производной x'(t):
x'(t) → p X (p) - x(0) = p X(p) - 1.
Заменив теперь обе части заданного уравнения их изображениями
x'(t) + 5 x(t) → p X(p) - 1 + 5 X(p), ,
получим операторное уравнение
⇔ ,
которое является уже не дифференциальным, а конечным. Найдём, далее, решение этого уравнения и разложим его методом неопределённых коэффициентов на простейшие дроби:
,
p + 2 = a ( p + 5 ) + b p, a + b = 1, 5 a = 2, a = 2/5, b = 3/5.
Выполняя с помощью вышеприведённых формул 2 и 3 обращение изображения X(p), получим решение поставленной задачи Коши:
.
 Пример 2.Найти решение x (t) уравнения x'' + 10 x' + 25 x = 2 cos 3t, удовлетворяющее начальному условию x(0) = 0, x '(0) = 1.
 Решение. Пусть x(t) → X(p). Тогда по теореме дифференцирования олигинала имеемa
x'(t) → p X(p) - x(0) = p X(p), x''(t) → p2 X(p) - p x(0) - x'(0) = p2 X(p) - 1.
По формуле (10)
.
Заменяя в заданном уравнении все слагаемые их изображениями, получаем операторное уравнение
⇔.
Следовательно,
,
откуда имеем
p2 + 2 p + 9 = a ( p + 5 )·( p2 + 9 ) + b ( p2 + 9 ) + ( c p + d )·( p + 5 )2,
или
.
Поэтому
.
Используя для обращения X(p) формулы (3), (10), (9), (11), получим решение
.
 Пример 3.Найти решение x (t) уравнения
удовлетворяющее начальному условию x(0) = 0, x ''(0) = 0, x'(0) = 3.
 Решение.
x(t) → X (p), x'(t) → pX (p) - x(0) = p X (p), x''(t) → p2X (p) - p x(0) - x'(0) = p2X (p) - 3,
x'''(t) → p3X (p) - p2 x(0) - p x'(0) - x''(0) = p3X (p) - 3 p, .
Составляем и решаем операторное уравнение
.
Разложим полученную дробь
.
или
3 p2 + 11 = ( A0 p + B0 )· ( p2 + 3 ) + A1 ( p2 + 3 ) - 2 p ( A1 p + B1 ),
A0 = 0, B0 = 10/3, A1 = 1/3, B1 = 0.
Следовательно,
.
 Ответ..

Уравнения с переменными коэффициентами

 С помощью преобразования Лапласа можно выполнить интегрирование некоторых видов обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.
 Пусть задано линейное обыкновенное дифференциальное уравнение
,
причем коэффициенты этого уравнения аi (t) (i = 0,1, 2, ..., n) являются многочленами от t. Уравнение такого вида может быть преобразовано по Лапласу, если воспользоваться теоремой о дифференцировании изображения, из которой следует, что дифференцирование по p изображения X (p) оригинала х (t) соответствует операции умножения этого оригинала на переменную t с изменением знака на обратный, т. е.
t·x(t) → - (X(p))'.
Если оригинал x(t) умножается на t n, то изображение этого произведения определится равенством
.
C другой стороны, известно, что изображение производной n-го порядка есть
.
Преобразуя рассматриваемое уравнение по Лапласу с учетом указанных соответствий, приходим к обыкновенному линейному дифференциальному уравнению относительно изображения X (p); порядок этого уравнения равен наивысшей степени t, имеющейся в коэффициентах исходного уравнения. Решив уравнение относительно изображения X (p), т. е. определив это изображение, можно способами, рассмотренными в лекции 1, перейти к оригиналу x(t), который является решением исходного уравнения.
 Целесообразность преобразования по Лапласу уравнения с переменными коэффициентами состоит в том, что преобразованное дифференциальное уравнение оказывается более простым, чем исходное уравнение.
 Пример 4. Найти решение уравнения с начальными условиями: при t = 0 х(0)=1, x'(0) = 0.
 Пусть х (t) → X (p). Преобразуя заданное уравнение по Лапласу и принимая во внимание приведенные выше соответствия, получаем уравнение относительно изображения
или
.
 Это уравнение также имеет переменные коэффициенты, но является более простым, чем исходное, поскольку имеет разделяющиеся переменные.
 Разделяя переменные, получаем
и после интегрирования найдем
,
где с — постоянная интегрирования.
 Для определения значения с воспользуемся теоремой о начальном значении оригинала
,
следовательно, постоянная интегрирования с == x (0) = 1.
 Определим оригинал, соответствующий изображению .