Дифференцирование и интегрирование рядов

ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ И ИНТЕГРИРОВАНИЕ РЯДОВ

При некоторых условиях функциональные ряды можно почленно интегрировать и дифференцировать. Рассмотрим соответствующие теоремы.

Если функциональный ряд имеет своими членами непрерывные пи отрезке [а, b] функции и сходится на этом отрезке равномерно к функции S( х ), то его можно почленно интегрировать на этом отрезке.
Это означает, что из справедливости равенства = S(x) вытекает справедливость равенства . Иными словами, при условиях, оговоренных в теореме 1, знаки суммирования и интегрирования можно менять местами: . Теорема 1 дает достаточные (но не необходимые !) условия для почленного интегрирования ряда. При отказе от требования равномерной сходимости функционального ряда теорема может оказаться неверной либо потому, что сумма S ( x ) не будет интегрируема ( в этом случае не гарантирована непрерывность функции S (x)), либо потому, что ряд интегралов расходится либо сходится, но не к . Наоборот, существуют ряды, не удовлетворяющие условиям теоремы, но, однако, допускающие почленное интегрирование.
Если в некотором промежутке 1) функциональный ряд сходится к сумме S (x); 2) члены f_n(x) данного ряда имеют непрерывные производные f '_n(x); 3) ряд этих производных сходится равномерно, то данный функциональный ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке упомянутого промежутка.
Это означает, что из справедливости равенства = S (x) вытекает справедливость равенства = S ' (x ) верного в каждой точке упомянутого промежутка. Другими словами, при условиях, оговоренных в теореме 2, знаки суммирования и дифференцирования можно менять местами: . Применительно к степенным рядам теорема о почленном интегрировании рядов формулируется так.
Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом отрезке [а, b], целиком принадлежащем интервалу сходимости ряда.
Таким образом, если S (x) = , то . Справедлива и еще более сильная теорема.
Степенной ряд можно почленно интегрировать на отрезке [0, х], целиком принадлежащем интервалу сходимости, сколько угодно раз.
Применительно к степенным рядам теорема о почленном дифференцировании рядов формулируется так.
Степенной ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке х его интервала сходимости.
Из этой теоремы вытекает, что степенной ряд можно почленно дифференцировать в каждой точке х его интервала сходимости сколько угодно раз.

   Дифференцирование и интегрирование рядов часто применяется для нахождения суммы S (x) функционального ряда. Если сумму S(x) некоторого ряда трудно найти непосредственно, но легко найти сумму ряда производных (или интегралов), то, дифференцируя (или интегрируя) ряд с известной суммой, можно вычислить и сумму исходного ряда S(x).
   Иногда после нескольких дифференцирований степенного ряда обнаруживается линейная зависимость между суммой S(x) данного ряда и ее производными. Тогда вычисление S(x) сводится к решению некоторого линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
   Дифференцирование и интегрирование функциональных рядов применяются и для вычисления сумм некоторых числовых рядов. Для этого составляется вспомогательный функциональный ряд, который при х = х_о совпадает с данным числовым рядом. Если сумма S(x) функционального ряда найдена и он сходится при х = х_о, то число S(x_o) является суммой данного числового ряда.
   Для вычисления суммы сходящегося числового ряда

в качестве вспомогательного может быть взят степенной ряд

. Тогда, по методу Абеля

Пример 1. Найти сумму ряда .
Решение. Интервал сходимости данного ряда (-1, 1). На основании теоремы о дифференцировании степенных рядов его можно дифференцировать в каждой точке интервала (-1, 1). Выполним дифференцирование: 1 + x + x² + x³ + … + x^n-1 + … = S '(x). Суммируя полученную бесконечно убывающую при | x | < 1 прогрессию, находим , откуда . Постоянную С можно вычислить, зная, что при х = 0 S(0) = 0 и, следовательно, 0 = - 1n(1 - 0) + С, откуда С = 0. Таким образом, сумма данного ряда S(x) = -1n (1 - x). Данный ряд сходится к своей сумме для | x | < 1.
Заметим, что данный ряд расходится в граничной точке х = 1 и сходится, по признаку Лейбница, в граничной точке х = - 1. По второй теореме Абеля, в случае сходимости степенного ряда в граничной точке х = а - R имеем . В нашем случае а = 0, R = 1, S (x) = − ln (l − х) и, следовательно, . Таким образом, область сходимости данного ряда к функции - 1n (1 - x) характеризуется двойным неравенством - 1 ≤ х < 1.
Пример 2. Найти сумму ряда .
Решение. Положим х² - 1 = у и найдем сумму S(y) степенного ряда , сходящегося для | у | < 1 (что нетрудно установить с помощью признака Даламбера). Интегрируя равенство S(y) = на отрезке [0, у] (что возможно на основании теоремы об интегрировании степенных рядов) и затем дифференцируя полученное равенство по у, будем иметь но у = х² - 1, поэтому . Разложение имеет место для всех значений х, удовлетворяющих неравенству | х² - 1 | < 1, т. е. для - 1 < х² - 1 < 1; 0 < х² < 2, откуда и . Эти неравенства и определяют область сходимости данного ряда к сумме .
Пример 3. Найти сумму ряда .
Обозначим сумму данного ряда через S(x) и найдем S '(x) и S ''(x): . Замечаем, что S "(x) = S(x). Полученное соотношение можно рассматривать как дифференциальное уравнение относительно искомой функции S(x), для которого начальные условия имеют вид S(0) = 1, S '(0) = 0. Так как это уравнение является линейным однородным с постоянными коэффициентами, то оно решается с помощью характеристического уравнения k² - 1 = 0, корни которого k_1,2 = ± 1; следовательно, S(x) = С₁е^x + С₂е^{- x}. Постоянные С₁ и С₂ найдем из системы или C₁ = C₂ = 1 /2, следовательно, .
Пример 4. Найти сумму ряда .
Решение. Составим вспомогательный степенной ряд и обозначим его сумму через S(x). Нужно найти S( 1 ). Для этого продифференцируем обе части равенства S(x) = по х (это возможно на основании теоремы о дифференцировании степенных рядов) и вычислим сумму ряда производных: . Проинтегрируем теперь обе части равенства S '(x) = 1/(2 - х) на отрезке [0; x ] ; тогда = S ( 1 ) = ln 2.
Пример 5. Исходя из соотношения , найти сумму ряда (того же, что и в примере 4).
Решение. Здесь мы поменяли местами знаки ∫ и Σ. Это можно ввиду непрерывности членов ряда в промежутке 2 ≤ х < ∞ и его равномерной сходимости в этом промежутке.
Пример 6. Найти сумму ряда .
Решение. Составим вспомогательный степенной ряд и воспользуемся методом Абеля: