ЛЕКЦИЯ 1 К СОДЕРЖАНИЮ РАЗДЕЛА
  1. Определение ряда.
  2. Определение частичной суммы ряда.
  3. Определение суммы ряда.
  4. Сумма членов геометрической прогрессии.
  5. Действия с рядами.
  6. Пример.
  7. Вычисление суммы ряда и исследование на сходимость ряда в математическом пакете MAPLE.
  8. Вопросы для самопроверки.

Определение ряда

 Пусть дана некоторая числовая последовательность { a n }n = 1, ∞. Выражение вида
.                     (1)
называется рядом. Формула an = f (n), по которой получаются компоненты числовой последовательности { a n }n = 1, ∞, называется общим членом ряда.

Определение частичной суммы ряда

 Сумма конечного числа n первых членов ряда называется n – ой частичной суммой ряда:
.                     (2)
Порядком частичной суммы (2) является номер последнего слагаемого.

Определение суммы ряда

 Рассмотрим частичные суммы
s1 = a1,
s2 = a1 + a2,
s3 = a1 + a2 + a3,
………
sn = a1 + a2 + a3 + … + an.
Если последовательность частичных сумм s1, s2, …, sn сходится, то есть существует конечный предел , то его называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Если предела не существует или значение его равно ∞, то говорят, что ряд (1) расходится и суммы не имеет.
 Таким образом, вопрос о сходимости ряда (1)равносилен вопросу о существовании конечного предела для последовательности s1, s2, …, sn (2). Обратно, вопрос о наличии конечного предела для числовой последовательности s1, s2, …, sn равносилен вопросу существования суммы ряда
s1 + ( s2 - s1 ) + ( s3 - s2 ) + …, (sn - sn-1) + … = a1 + a2 + a3 + … + an + ….                   (3)
 К примеру, действительное число α, представленное бесконечной десятияной дробью С0,a1a2a3…an… представляет не что иное, как сумму ряда
.
 По образцу (3) построен ряд
.
Этот ряд расходится, так как ln (n + 1) → ∞.

Сумма членов геометрической прогрессии

 Рассмотрим ряд
a + a q + a q2 + … + a qn + …                     (4)
Ряд образован геометрической прогрессией { a qn }. Сумма n первых членов ряда (3) равна
.
Если | q | < 1, то qn ® 0 при n ® ∞, и, следовательно,
Значит, при | q | < 1 ряд (4) сходится и его сумма равна
.
Если | q | > 1, то qn ® ∞ при n ® ∞, и
.
В этом случае суммы рассматриваемого ряда не существует, и ряд называется расходящимся.

Действия с рядами

 Если в ряде (1) отбросить первые m членов, то получится ряд
,                      (5)
называемый остатком ряда (1) после m - го члена.
 Теорема 1. Если сходится ряд (1), то сходится и любой из его остатков (5); обратно, из сходимости остатка (5) вытекает сходимость исходного ряда (1).
 Доказательство. Зафиксируем m и рассмотрим k - ю частичную сумму ряда (5)
.                      (6)
Тогда
.
 Если ряд (1) сходится, то последовательность частичных сумм этого ряда имеет конечное значение предела An → A, то при безграничном возрастании k существует конечный предел
А' = A - Am.                      (7)
Для суммы (6) означает сходимость ряда (5).
 Обратно, пусть дана, сходимость ряда (5), то есть A'n→ A'. Очевидно
An = Am + A'n-m
и при безграничном возрастании n получим
A = Am + A'.                     (8)
Из чего вытекает сходимость ряда (1).
 Отбрасывание конечного числа начальных членов ряда или присоединение в начале его несколько новых членов не отражается на поведении ряда ( в смысле сходимости или расходимости). Что и требовалось доказать.
 Теорема 2.Если ряд (1) сходится, то сумма rm его остатка после m-го члена с возрастанием m стремится к нулю.
 Доказательство. Сумму ряда (5), если он сходится, обозначают вместо А' символом rm, указывая значком, после какого члена берётся остаток. Тогда формулы (7) и (8) могут быть записаны в виде
A = Am + rm, rm = A - Am.
 Если увеличивать m, то Am → A и rm → 0.
 Теорема 3. Если члены сходящегося ряда (1) a1 + a2 + … умножить на один и тот же множитель с, то его сходимость не нарушится (а сумма умножится на с).
 Доказательство. Частичная сумма A ряда
с a1 + с a2 + … + c an + …
равна
An = с a1 + с a2 + … + c an = c (a1 + a2 + … + an) = c An
имеет предел сА.
 Теорема 4. Два сходящихся ряда
А = a1 + a2 + …+ an + …                    (9)
и
В = b1 + b2 + … + bn + …                    (10)
можно почленно складывать ( или вычитать), так что ряд
С = (a1 ± b1) + (a2 ± b2) + … + (an ± bn) + …                    (11)
сходятся и его сумма соответственно равна А ± B.
 Доказательство. Обозначив An, Bn, Cn частичные суммы рядов (9), (10), (11), получим
Сn = (a1 ± b1) + (a2 ± b2) + … + (an ± bn) = ( a1 + a2 + …+ an) ± (b1 + b2 + … + bn) = An ± Bn
Переходя к пределу, получим lim Cn = lim An ± lim Bn, что и требовалось доказать.
 Теорема 5. (Необходимое условие сходимости ряда) Общий член an сходящегося ряда стремится к нулю.
 Доказательство. Это утверждение может быть доказано элементарно:
an = An - An-1 → A - A = 0.

Пример

 Найти сумму ряда .
 Решение. Найдём частичную сумму этого ряда, разложив знаменатель на множители:
Раскрывая частичную сумму, получим
Уничтожая противоположные слагаемые в последней сумме, получим для частичной суммы выражение
.
По определению суммы ряда, получим

Вычисление суммы ряда и исследование на сходимость ряда в математическом пакете MAPLE

> convert(f(x),parfrac,x);# разложение на простейщие дроби
> restart:Sum(1/n!,n=0..infinity)=sum(1/n!,n=0..infinity);
> _EnvFormal := true;
> for n from 1 to 5 do sum('1/(k*(k+1))', 'k'=1..n): evalf(%):od; #здесь можно проиллюстрировать определение суммы ряда

Вопросы для самопроверки

  1. Дайте определение числового ряда.
  2. Дайте определение частичной суммы.
  3. Что называется порядком частичной суммы?
  4. Какой ряд называется сходящимся?
  5. Какой ряд называется расходящимся?
  6. Что называется суммой ряда?