ЛЕКЦИЯ 2 К СОДЕРЖАНИЮ РАЗДЕЛА
  1. Условие сходимости положительного ряда.
  2. Признак сравнения 1.
  3. Признак сравнения 2.
  4. Признак Даламбера.
  5. Признак Коши (радикальный).
  6. Интегральный признак Коши.
  7. Достаточный признак расходимости ряда.
  8. Признак Куммера.
  9. Признак Раабе.
  10. Признак Гаусса.
  11. Признак Бертрана.
  12. Вопросы для самопроверки.

Условие сходимости положительного ряда

 Теорема. Знакоположительный ряд
a1 + a2 + … + an + … (1)
всегда имеет сумму; эта сумма будет конечной, если частичные суммы ряда (1) ограничены сверху, и бесконечной в противном случае.
Доказательство вытекает из теоремы Больцано-Веййерштрасса о сходимости монотонно возрастающей ограниченной последовательности. Ряд (1) называется знакоположительным, если его все члены неотрицательны, то есть an ≥ 0 ( n = 1, 2, 3, …). Так как
An+1 = An + an+1 ≥ An,
то частичные суммы ряда (1) образуют монотонно возрастающую числовую последовательность. Для существования предела для монотонно возрастающей числовой последовательности теперь достаточно потребовать её ограниченность.

Признак сравнения 1

 Пусть дан ряды с положительными членами,
                     (2)
и
                     (3)
причём для всех достаточно больших n ≥ N имеет место неравенство an ≤ bn. Тогда  Доказательство. Так как отбрасывание конечного числа первых членов не влияет на сходимость ряда, можно считать, что неравенство имеет место с первого номера: a1 ≤ b1, a2 ≤ b2, …, an ≤ bn. Воспользовавшись свойством сложения неравенств одинакового смысла, получим
a1 + a2 + … + an ≤ b1 + b2 + … + bn
или
An ≤ Bn .                     (4)
Так как ряд (3) сходится, то существует предел B последовательности частичных сумм Bn. Так как ряды (2) и (3) знакоположительные, то Bn ≤ B. Последовательность частичных сумм An является монотонно возрастающей и ограниченной An ≤ σ, и по теореме Больцано - Вейерштрасса такая числовая последовательность An должна иметь предел. Что и тебовалось доказать.
Доказательство предложения 2) признака сравнения вытекает из свойства бесконечно большой числовой последовательности: если силовая последовательность An является бесконечно большой и An ≤ Bn, то числовая последовательность Bn тоже является бесконечно большой.
 Пример (применение 1 признака сравнения). Исследовать на сходимость ряд .
 Решение. Общий член этого ряда имеет вид
, n = 1, 2, …
Положим . В этом случае
,

…
.
Так как ряд сходится, то по первому признаку сравнения исследуемый ряд тоже сходится.

Признак сравнения 2

 Если существует конечный и отличный от нуля предел
,
тогда оба ряда (2) и (3) одновременно сходятся, либо одновременно расходятся, если среди членов числовой последовательности (3) нет нулей. Если же
,
то из сходимости ряда (3) следует сходимость ряда (2).
 Доказательство этого признака опирается на первый признак сравнения. Пусть
.
Тогда
.
Из последних неравенств следует
Используя первый признак сравнения, получим доказательство справедливости второго признака сравнения.
 Пример (применение признака сравнения 2). Исследовать на сходимость ряд
.
 Решение. Рассматриваемый ряд имеет общий член вида
.
Рассмотрим ряд
с общим членом
.
По признаку сравнения ряды и в сходимости ведут себя одинаково так как
.
Рассмотрим теперь ряд с общим членом вида . В вопросе сходимости ряды и ведут себя одинаково, так как по признаку сравнения имеем
.
Ряд сходится, значит, ряд тоже сходится, и ряд сходится.

Признак Даламбера

 Если в ряде с положительными членами (2) отношение ( n + 1) - го члена к n - му имеет (конечный) предел q
,
то  Доказательство проведём для сходимости ряда. Пусть q < 1. По определению предела числовой последовательности имеем,
∀ ε > 0 ∃ N = N (ε) ∀ n > N: .
Выберем ε таким, чтобы q + ε = p < 1. Для такого ε найдём такой номер N, что для всех последующих номеров будет выполнено неравенство или
an+1 < an·p.                     (5)
Расписав неравенства (5), начиная с номера, с которого они выполняются, получим последовательность неравенств
aN+1 < aN·p,  aN+2 < aN+1·p < aN·p2,  …,  aN+k < aN+k-1·p  < aN·pk.
Складывая левые и правые части последних неравенств, получим
aN+1 + aN+2 + … + aN+k < aN·p + aN·p2 + … , aN·pk.                     (6)
В левой части неравенства (6) стоит частичная сумма ряда (2), из которого удалено N первых слагаемых. В правой части этого же неравенства стоит частичная сумма членов сходящейся геометрической прогрессии. Так как отбрасывание конечного числа первых членов не влияет на сходимость числового ряда, то, опираясь на первый признак сравнения, получим подтверждение сходимости ряда (2).
 Пример. Исследовать сходимость ряда .
 Общий член ряда имеет вид . Применим признак Даламбера, вычислив предел
.
Согласно признаку Даламбера исследуемый ряд сходится.

Признак Коши (радикальный)

 Если для ряда с положительными членами (2) предел существует, то  Доказательство проведём для сходимости ряда. Пусть q < 1. По определению предела числовой последовательности имеем,
∀ ε > 0 ∃ N = N (ε) ∀ n > N: .
Выберем ε таким, чтобы q + ε = p < 1. Возводя обе части правого неравенства в степень n, получим an < pn. В правой части последнего неравенства стоит общий член сходящейся геометрической прогрессии. Ссылаясь на первый признак сравнения и теорему о независимости сходимости или расходимости числового ряда при отбрасывании конечного числа первых слагаемых, получим доказательство справедливости данной теоремы.
 Исследовать сходимость ряда .
 Решение. Для определения сходимости или расходимости рассматриваемого ряда применим радикальный признак Коши:
Согласно радикальному признаку Коши исследуемый ряд является сходящимся.

Интегральный признак Коши

 Пусть члены ряда (2) положительны и не возрастают, то есть a1 ≥ a2 ≥ a3 ≥ … , и пусть f (x) - такая непрерывная невозрастающая функция, что f (1) = a1, f (2) = a2, … , f (n) = an. Тогда справедливы следующие утверждения:        Функцию f (x), принимающую в точках х = n значения f (n) = an, чаще всего удаётся построить с помощью замены в выражении f (x) непрерывно меняющегося аргумента х на натуральный аргумент n. Однако, не всегда это возможно сделать. Но это не означает, что не существует функции f (x), принимающей в точках х = n значения f (n) = an. Она всегда существует, но аналитическое выражение не всегда просто найти.
 Доказательство. Изобразим члены ряда геометрически, откладывая по оси абсцисс номера (смотри рисунок.).
Из неравенства (7) следует утверждение: если ряд сходится, то несобственный интеграл тоже сходится
.                     (7)
Имеем далее (смотри рисунок).
.
Если несобственный интеграл сходится, то справедливы неравенства
и частичная сумма ряда является монотонно возрастающей, ограниченной последовательностью. По теореме Больцано - Вейерштрасса такая последовательность имеет предел. Значит, ряд сходится.
 Если несобственный интеграл расходится, то в силу неравенства (7), вытекает расходимость ряда.
 Для приближённого вычисления суммы S сходящегося ряда пренебрегают остатком и полагают
.
 Чтобы оценить допускаемую при этом ошибку, оценим остаток. Для сходящихся знакоположительных рядов, члены которых убывают, начиная с некоторого номера, справедливы следующие оценки
, .
 Пример. Исследовать на сходимость ряд
.
 Решение. Воспользуемся интегральным признаком сходимости, приняв . Несобственный интеграл для этой функции
как видно расходится, поэтому исследуемый ряд тоже расходится.

Достаточный признак расходимости ряда

 Пусть члены ряда (2.1) неотрицательны. Если существует предел , то ряд (2.1) расходится.

Признак Кумера

 Пусть для ряда (1) существует последовательность {bn} положительных чисел, для которой выполняются условия:
  1. 1) ряд расходится,
  2. 2) числа одного знака.
Тогда ряд (1) при vn > l > 0 сходится, а при vn ≤ 0 расходится.
 Доказательство. Пусть vn > l > 0. Тогда l an+1 < anbn - an+1bn+1. Полагая последовательно n = 1, 2, …, получаем неравенства
l a2 < a1b1 - a2b2,
l a3 < a2b2 - a3b3,
…,
l an+1 < anbn - an+1bn+1,
складывая эти неравенства, получим
l (a2 + a3 + …, an+1 < a1b1 - an+1bn+1 < a1b1
Так как l > 0, то из последнего неравенства получаем оценку
или
Следовательно, последовательность частичных сумм знакоположительного ряда (1) образуют монотонно возрастающую ограниченную последовательность и по теореме Веййерштрасса такая последовательность частичных сумм должна иметь предел. Так что в этом слечае ряд (1) сходится.
  Пусть теперь . Тогда anbn ≤ an+1bn+1 и a1b1 ≤ a2b2 ≤ … ≤ an+1bn+1. Таким образом, , и поскольку ряд расходится, то по первому признаку сравнения ряд (1) тоже сходится.
 Следствие (признак Кумера в предельной форме). Если для ряда (1) существует последовательность {bn} положительных чисел, для которой выполняются условия:
  1. 1) ряд расходится,
  2. 2) .
Тогда ряд (1) при l > l > 0 сходится, а при l < 0 расходится.
 Доказательство. При l > 0 и пункта 2 следствия ∃ n0 ∀ n > n0 и по признаку Кумера ряд (1) сходится.
 Если же l < 0, то ∃ n0 ∀ n > n0 vn < l/2 < 0 и по признаку Кумера ряд (1) расходится.

Признак Раабе

 Если существует предел , то при R > 1 ряд (2) сходится, а при R < 1 расходится; при R = 1 признак ответа о сходимости ряда не даёт.
Доказательство. Обозначим варианту Раабе
.
По определению предельного перехода lim Rn = R имеем
∀ ε > 0 ∃ N1 = N (ε) ∀ n > N1: R - ε < Rn < R + ε.
Пусть R > 1. Выберем ε достаточно малым и таким, чтобы R - ε = r > 1. По этому ε мы найдём N1, начиная с которого выбут выполнять неравенства Rn > r > 1, или
.                    (8)
Выберем фиксированное число s такое, чтобы выполнялись неравенства 1 < s < r. Так как имеет место соотношение
,
и начиная с некоторого номера N2 , будет выполнено неравенство
или
,
следовательно, в силу (8) при n > N = max (N1, N2)
.                    (9)
Неравенство (9) при n > N3 = max (N1, N2) можно записать в виде
.
Так как ряд при s > 1 сходится то, начиная с некоторого номера N4 по признаку Даламбера для этого ряда будет выполняться неравенство
и, следовательно
.                    (10)
Так как (10) выполняется при любых n > max (N3, N4) вытекает по признаку Даламбера сходимость ряда (2).
Признак Раавбле можно обосновать признаком Кумера, приняв последовательность {bn = n} последовательностью натуральных чисел. Ряд является расходищимся и в этом случае
Если l > 0 по признаку сходимости Куммера, то r > 1 по признаку сходимости Раабе. Если l < 0 по признаку расходимости Кумера, то r < 1 по признаку расходимости Раабе.
 Пример. Исследовать сходимость ряда .
 Решение. Для решения задачи воспользуемя признаком Раабе:
Откуда получаем p > 1,5.

Признак Гаусса

 Пусть отношение an/an+1 представимо в виде
,                    (11)
где α, β, γ – постоянные числа, и ε > 0, γn – ограничено |γn| ≤ M для всех натуральных n = 1, 2, ….
 Тогда при α > 1 или α = 1, β > 1 ряд (1) сходится, а при α < 1 или α = 1, β ≤ 1 ряд (1) – расходится.
 Доказательство. Поскольку , то по признаку Даламбера ряд (1) сходится при α > 1 и расходится при α < 1.
 Пусть теперь α =1, тогда или при n → ∞. По признаку Раабе ряд (1) сходится при β > 1 и расходится при β < 1.
 Остаётся рассмотреть случай α = β = 1. В этом случае
.
Применим признак Куммера в предельной форме. В качестве расходящегося ряда применим ряд
В этом случае bn = n lnn. Имеем
 Так как и , то и ряд (1) сходится согласно признаку Кумера в предельной форме.
 Пример. Исследовать на сходимость ряд
.
 Решение. Найдём параметр α:
Найдём параметр β:
Условмем сходимости в случае α = 1 будет β > 1. Таким образом, условием сходимости рассматриваемого ряда будет p > 2.

Признак Бертрана

 Если существует предел , то при B > 1 ряд (2) сходится, а при B < 1 расходится.
 Доказательство. Для доказательства воспользуемся признаком Куммера и в качестве расходящегося ряда применим ряд
.
По признаку Куммера имеем
Откуда следует условие сходимости Бертрана B > 1.

Вопросы для самопроверки

  1. Сформулируйте необходимый признак сходимости.
  2. Сформулируйте первый признак сравнения.
  3. Сформулируйте второй признак сравнения.
  4. Сформулируйте третий признак сравнения.
  5. Сформулируйте признак Даламбера.
  6. Сформулируйте радикальный признак.
  7. Сформулируйте интегральный признак.
  8. Сформулируйте достаточный признак сходимости ряда.
  9. Сформулируйте признак Раабе.
  10. Сформулируйте признак Бертрана.
  11. Сформулируйте признак Гаусса.