ЛЕКЦИЯ 3 К СОДЕРЖАНИЮ РАЗДЕЛА
  1. Определение знакочередующихся рядов.
  2. Определение абсолютного ряда.
  3. Теорема об абсолютной сходимости знакочередующегося ряда.
  4. Определение абсолютной и условной сходимости знакочередующегося ряда.
  5. Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда.
  6. Замечания к теореме Лейбница.
  7. Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов.
  8. Вопросы для самопроверки.

Определение знакочередующихся рядов

 Числовой ряд вида
u1 – u2 + u3 - … + (-1)n-1un + , … , (un >0),                        (1)
где u1, u2, u3, … — положительные числа, называется знакочередующимся.

Определение абсолютного ряда

 Ряд, составленный из абсолютных величин слагаемых ряда
u1 + u2 + u3 + … + un + …,                         (2)
называется абсолютным по отношению к знакочередующемуся ряду.

Теорема об абсолютной сходимости знакочередующегося ряда

 Теорема 1. Если абсолютный ряд (2) для знакочередующегося ряда (1) сходится, то знакочередующийся ряд тоже сходится.
 Доказательство. Пусть sn и σ n — частичные суммы рядов (1) и (2). Пусть далее An — сумма всех положительных и Bn — сумма абсолютных величин всех отрицательных величин в частичной сумме sn. Тогда
sn = An - Bn, σn = An + Bn.
По условию теоремы предел = σ существует, кроме того, An и Bn — положительные возрастающие величины, которые меньше σ. Следовательно, по теореме Больцано – Вейерштрасса, они имеют пределы s '  и s ''. Из соотношения sn = An - Bn следует, что sn имеет предел и этот предел, равен s ' - s '', то есть знакочередующийся ряд (1) сходится.

Определение абсолютной и условной сходимости знакочередующегося ряда

 Знакочередующийся ряд (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится его абсолютный ряд (2). Если знакочередующийся ряд (1) сходится, а его абсолютный ряд (2) расходится, то знакочередующийся ряд называется условно сходящимся.

Признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда

 Если в знакочередующемся ряде u1 – u2 + u3 - … + (-1)n-1 un + …,( un > 0) члены таковы, что
  1. величины слагаемых по величине u1 > u2 > u3 > … монотонно убывают;
  2. величины слагаемых стремятся к нулю ,
то знакочередующийся ряд (1) сходится, его сумма положительна и не превосходит первого члена.
 Доказательство. Рассмотрим сумму n = 2·m первых слагаемых ряда (1):
s2m = (u1 - u2) + (u3 - u4) + … + (u2m-1 - u2m).
Из первого условия теоремы следует, что выражение в каждой скобке положительно. Следовательно, частичные суммы чётного порядка знакочередующегося ряда (1) положительны s2m > 0, и возрастают с ростом m.
Частичную сумму чётного порядка можно записать в виде
s2m = u1 - ( u2 - u3) - ( u4 - u5) - … - ( u2m-2 - u2m-1) - u2m.
В силу первого условия теоремы Лейбница, каждая из скобок положительна, поэтому в результате отбрасывания отрицательных величин получим число, меньшее u1, то есть s2m < u1. В силу теоремы Больцано – Вейерштрасса монотонно возрастающая и ограниченная последовательность частичных сумм чётного порядка s2m имеет предел
,
причём 0 < s < u1. Для частичных сумм нечётного порядка имеем s2m+1 = s2m + u2m+1. Так как , то
.
Тем самым доказано, что , и, следовательно, рассматриваемый знакочередующийся ряд сходится.

Замечания к теореме Лейбница

 Замечание 1. Теорема Лейбница справедлива, если первое свойство теоремы выполняется, начиная с некоторого номера N.
 Замечание 2. Если на числовой оси откладывать частичные суммы
s1 = u1, s2 = s1 - u2, s3 = s2 + u3, s4 = s3 – u4, …,
то точки, соответствующие этим частичным суммам, будут приближаться к некоторой точке s, которая будет соответствовать сумме ряда. Точки, соответствующие частичным суммам чётного порядка, располагаются слева от s, а точки, соответствующие частичным суммам нечётного порядка, располагаются справа от s:
 Замечание 3. Погрешность, получающаяся при замене s на sn, не превосходит по абсолютной величине первого из отброшенных членов.
 Пример. Исследовать на сходимость ряд
 (3)
Ряд (3) является знакочередующимся. Проверим выполнение условий деоремы Лейбница. Первое условие теоремы выполнено, так как
.
Второе условие теоремы Лейбница выполнено, так как
.
Следовательно, ряд (3) является сходящимся. Однако, ряд расходится. Поэтому можно говорить только об условной сходимости ряда (3).

Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов

 Если ряд сходится абсолютно, то он остаётся абсолютно сходящимся при любой перестановке конечного числа его членов.

 Действительно, рассмотрим ряд
a1 + a2 + a3 + … + an + …, (4)
причём среди членов ряда (4) встречаются только один раз члены ряда (1), и его абсолютный ряд
|a1| + |a2| + |a3| + … + |an| + …, (5)
В этом случае говорят, что ряд (4) получается перестановкой членов ряда (1). Поскольку переставлено конечное число членов ряда (1), выберем такой порядок частичной суммы N, что частичная сумма ряда (4) включает в себя все переставленные члены ряда (1), при этом частичные суммы sn, σn для рядов (1), (2) и (4), (5) будут совпадать и
sn = An - Bn, σn = An + Bn.
Так как ряд (1) сходится абсолютно, то из этого вытекает существование пределов для частичных сумма An, Bn и сходимость ряда (5) для ряда (4), что означает абсолютную сходимость ряда (4). Что и требовалось доказать. Это доказательство опирается на коммутативное свойство сложения конечного числа слагаемых.

 Если ряд сходится условно, то, какое бы мы ни задали число А, можно так переставить члены этого ряда, чтобы его сумма оказалась в точности равной А.

 Действительно, так как ряд (1) сходится условно, то An → ∞ и Bn → ∞ при n → ∞. Выберем произвольное число А. Так как ряд, составленный из положительных слагаемых расходится, сужествует накой номер n1, что
. (6)
Так как ряд, составленный из отрицательных слагаемы расходится, то отперелим такое число отрицательных слагаемых и их сумму , чтобы
.  (7)
Далее переставляем положительные и формируем сумму положительных слагаемых, так, чтобы
.  (8)
Далее отрицательных
,  (9)
и так далее. Таким образом будет произведена перестановка положительных и отрицательных слагаемых, что последовательность частичных сумм (6) – (9) и т.д. будет иметь своим пределом число А.

Вопросы для самопроверки

  1. Какой ряд называется знакочередующимся?
  2. Какой ряд называется абсолютным для данного знакочередующегося ряда?
  3. Какой ряд называется абсолютно сходящимся?
  4. Какой ряд называется условно сходящимся?
  5. Сформулируйте признак Лейбница сходимости знакочередующегося ряда?
  6. Что можно сказать о поведении частичных сумм чётного и нечётного порядков знакочередующегося ряда?
  7. Что можно сказать о погрешности от замены знакочередующегося ряда его частичной суммой?
  8. Сформулируйте свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов.