Лекция 4

ЛЕКЦИЯ 4

Функциональные ряды
Мажорируемые ряды
Непрерывность суммы ряда
Интегрирование и дифференцирование рядов
Определение степенного ряда.
Определение области сходимости степенного ряда.
Теорема Абеля.
Радиус сходимости.
Пример.
Использование MAPLE для нахождения радиуса сходимости степенного ряда.
Вопросы для самопроверки.

Функциональные ряды

   Ряд u₁ + u₂ + … + u_n + … называется функциональным, если его члены являются функциями от х.
   Рассмотрим функциональный ряд u₁(x) + u₂(x) + … + u_n(x) + …                        (1)    Давая х определенные числовые значения, мы получаем различные числовые ряды, которые могут оказаться сходящимися или расходящимися.
   Совокупность тех значений х, при которых функциональный ряд сходится, называют областью сходимости этого ряда.
   Очевидно, что в области сходимости ряда его сумма является некоторой функцией от х. Поэтому сумму функционального ряда обозначают через s (x).
   Пример 1. Рассмотрим функциональный ряд 1 + х + х² + ... + х^т + ... Этот ряд сходится при всех значениях х в интервале (- 1, 1), т. е. при всех х, удовлетворяющих условию | х | < 1. Для каждого значения х в интервале (- 1, 1) сумма ряда равна

(сумма убывающей геометрической прогрессии со знаменателем х). Таким образом, в интервале (- 1, 1) данный ряд определяет функцию s (x ) =

, которая является суммой ряда, т. е.

= 1 + х + х² + ... + х^т + ... Обозначим через s_n (х) сумму первых n членов ряда (1). Если этот ряд сходится и сумма его равна s (x), то s (x) = s_n(x) + r_n (х), где r_n (х) есть сумма ряда u_n+1 (x) + u_n+2 (x) +..., т. е. r_n(х) = u_n+1 (x) + u_n+2 (x) +... В этом случае величина r_n (х) называется остатком ряда (1). Для всех значений х в области сходимости ряда имеет место соотношение

, поэтому

, т. е. остаток r_n(х) сходящегося ряда стремится к нулю при n → ∞.

Мажорируемые ряды

Определение. Функциональный ряд u₁(x) + u₂(x) + … + u_n(x) + … (1) называется мажорируемым в некоторой области изменения х, если существует такой сходящийся числовой ряд α₁ + α₂ + α₃ + … + α_n +... (2) с положительными членами, что для всех значений х из данной области выполняются соотношения | u₁(x) | ≤ α₁, | u₂(x) | ≤ α₂, … ,| u_n(x) | ≤ α_n, … (3) Иначе говоря, ряд называется мажорируемым, если каждый его член по абсолютной величине не больше соответствующего члена некоторого сходящегося числового ряда с положительными членами.
Например, ряд

есть ряд, мажорируемый на всей оси Ох. Действительно, для всех значений х выполняется соотношение

, а ряд

, как известно, сходится.
   Непосредственно из определения следует, что ряд, мажорируемый в некоторой области, абсолютно сходится во всех точках этой области. Кроме того, мажорируемый ряд обладает еще следующим важным свойством.
   Теорема. Пусть функциональный ряд u₁(x) + u₂(x) + … + u_n(x) + … мажорируем на отрезке [а, b]. Пусть s (x) - сумма этого ряда, s_n(x)-сумма n первых членов этого ряда. Тогда для каждого как угодно малого числа ε > 0 найдется положительное число N такое, что при всех n ≥ N будет выполняться неравенство | s(x) - s_n(x) | < ε, каково бы ни было х из отрезка [а, b].
   Доказательство. Обозначим через σ сумму ряда (2): σ = α₁ + α₂ + α₃ + … + α_n + α_n+1 +... тогда σ = σ_n + ε_n, где σ_n - сумма n первых членов ряда (2), а ε_n - сумма всех остальных членов этого рада, т. е. ε_n = α_n+1 + α_n+2 +... . Так как этот ряд сходится, то

и, следовательно,

. Представим теперь сумму функционального ряда (1) в виде s(x) = s_n(x) + r_n(x), где s_n(x) = u₁(x) + ...+ u_n(х),
r_n (x) = u_n+1(x) + u_n+2(x) + u_n+3(x) + .... Из условия (3) следует, что | u_n+1(x) | ≤ α_n+1, | u_n+2(x) | ≤ α_n+2, … и поэтому | r_n(x) | ≤ ε_n для всех х из рассматриваемой области. Таким образом, | s(x) - s_n(x) | < ε_n для всех х из отрезка [а, n], причем ε_n → 0 при n → ∞.
   Замечание 1. Полученный результат можно геометрически иллюстрировать следующим образом.
   Рассмотрим график функции y = s(x). Построим около этой кривой полосу шириной 2 ε_n, т. е. построим кривые y = s(x) + ε и y = s(x) - ε. Тогда для любого ε найдётся такой номер N, что для всех n ≥ N графики функций s_n(x) будет лежать целиком в рассматриваемой полосе (смотри рисунок.).
   Замечание 2. Не всякий функциональный ряд, сходящийся на отрезке [a, b], обладает свойством, указанным в доказанной теореме. Но существуют и немажорируемые ряды, которые обладают указанным свойством. Всякий ряд, обладающий указанным свойством, называется равномерно сходящимся рядом на отрезке [а, b].
   Итак, функциональный ряд u₁(x) + u₂(x) + … + u_n(x) + … называется равномерно сходящимся на отрезке [а, b], если для любого как угодно малого ε > 0 найдется такой номер N, что при всех n ≥ N будет выполняться неравенство | s(x) - s_n(x) | < ε для любого х из отрезка [а, b].
   Ряд вида

представляет собой сумму членов бесконечной убывающей прогрессии с первым членом b₁ = x² и частным

. Частичная сумма n - го порядка определится соотношением

. Сумма ряда определится соотношением

. Сходимость s_n(x) → s(x) не является равномерной, можно указать такое положительное значение ε и такие значения аргумента x* ∈ [a, b ], что для всех n > N будет справедливо неравенство s(x*) > ε. характерную особенность неравномерной сходимости можно (показать на рисунке.).
На основании доказанной теоремы следует, что мажорируемый ряд является рядом, равномерно сходящимся.

Непрерывность суммы ряда

   Пусть имеем ряд из непрерывных функций u₁ (х) + u₂ (х) + ... + u_n(х) + ..., сходящийся на некотором отрезке [а, b].
   Доказана теорема о том, что сумма конечного числа непрерывных функций есть функция непрерывная. Для суммы ряда (состоящего из бесконечного числа слагаемых) это свойство не сохраняется. Некоторые функциональные ряды с непрерывными членами имеют в качестве суммы непрерывную функцию, у других функциональных рядов с непрерывными членами сумма является разрывной функцией.
   Пример 2. Рассмотрим ряд ( х^1/3 - х ) + ( х^1/5 - х^1/3 ) + ( х^1/7 - х^1/5 ) + ... + ( х^1/(2n+1) - x^1/(2n-1) ) + ... . Члены этого ряда (каждый из них заключен в скобки) суть непрерывные функции при всех значениях х. Докажем, что этот ряд сходится и его сумма есть разрывная функция.
Найдем сумму в первых членов этого ряда: s_n = х^1/(2n+1) - x. Найдем сумму ряда:
если х > 0, то

если х < 0, то

если х = 0, то s_n = 0, и поэтому

. Таким образом, имеем

Итак, сумма приведенного ряда есть функция разрывная. Ее график (изображен)на рисунке.
   Для мажорируемых рядов справедлива следующая теорема.
   Теорема. Сумма ряда непрерывных функций, мажорируемого на некотором отрезке [а, b], есть функция, непрерывная на этом отрезке.
   Доказательство. Пусть имеем мажорируемый на отрезке [а, b] ряд непрерывных функций u₁(х) + u₂(х) + u₃(х) + ...                         (1) Представим его сумму в виде s(x) = s_n(x) + r_n(x), где s_n(x) = u₁(x) + u₂(x) + … + u_n(x) и r_n(x) = u_n+1(x) + u_n+2(x) + … . Возьмем на отрезке [а, b] произвольное значение аргумента х и придадим ему такое приращение Δх, чтобы точка х + Δх лежала тоже на отрезке [а, b].
    Введем обозначения Δs = s(х + Δх) - s(x), Δs_n = s_n (x + Δх) - s_n (x), тогда Δ s = Δs_n + r_n (х + Δх) - r_n (х), откуда | Δ s | ≤ | Δs_n | + | r_n (х + Δх) | + | r_n (х) |,                        (4)    Это неравенство справедливо для любого номера n.
   Чтобы доказать непрерывность s(x), нужно показать, что при любом наперед заданном и как угодно малом ε > 0 найдется число δ > 0 такое, что при всех | Δ х | < δ будет | Δ s | < ε .
   Так как данный ряд (1) мажорируемый, то при любом наперед заданном δ > 0 найдется такой номер N, что при всех n ≥ N, и в частности при n = N, будет выполняться неравенство r_N (x) | < ε/3                        (5) при любом х из отрезка [а, b]. Значение х + Δх лежит на отрезке [а, b] и потому выполняется неравенство r_N (x + Δ x) | < ε/3                        (5') Далее, при выбранном N частичная сумма s_N (x) есть функция непрерывная (сумма конечного числа непрерывных функций) и, следовательно, можно подобрать такое положительное число δ, что для всякого Δх, удовлетворяющего условию | Δх | < δ, выполняется неравенство | Δs_N | < ε/3.                        (6) На основании неравенств (4), (5), (5') и (6) получаем | Δ s | < ε/3 + ε/3 + ε/3 = ε, т. е. | Δ s | < ε, при | Δ х | < δ, а это и означает, что s(x) является непрерывной функцией в точке х (и, следовательно, в любой точке отрезка [а, b]).
   Замечание. Из доказанной теоремы следует, что если сумма ряда на каком-либо отрезке [а, b] разрывна, то ряд не мажорируем на этом отрезке. В частности, не мажорируемым (на любом отрезке, содержащем точку х = 0, т. е. точку разрыва суммы ряда) является ряд, приведенный в примере.
   Отметим, наконец, что обратное предложение неверно: существвуют ряды, не мажорируемые на отрезке и, однако, сходящиеся на этом, отрезке к непрерывной функции. В частности, всякий равномерной сходящийся на отрезке [а, b] ряд (даже если он не мажорируем) имеет в качестве суммы непрерывную функцию (конечно, если все члены ряда непрерывны).

Интегрирование и дифференцирование рядов

Теорема 1. Пусть имеем ряд непрерывных функций u₁(x) + u₂(x) + … + u_n(x) + … (1) мажорируемый на отрезке [а, b], и пусть s(x) есть сумма этого ряда. Тогда интеграл от s(x) в пределах от а до х, принадлежащих отрезку [а, b], равняется сумме таких же интегралов от членов данного ряда, т. е.

Доказательство. Функцию s (x) можно представить в виде s(x) = s_n(x) + r_n(x), или s (х) = u₁(x) + u₂(x) + … + u_n(x) + r_n (х). Тогда

(7) (интеграл от суммы конечного числа слагаемых равен сумме интегралов от этих слагаемых).
Так как исходный ряд (1) мажорируем, то при любом х имеем | r_n(х) | < ε_n, где ε_n → 0 при n → ∞. Поэтому смотри замечание

В приводимых ниже оценках при a < x берётся знак +, а при x < a знак -

Так как ε_n → 0, то

. Но из равенства (4) получаем:

Следовательно,

или

(8) Сумма, стоящая в квадратных скобках, есть частичная сумма ряда

(9) Поскольку частичные суммы этого ряда имеют предел, этот ряд сходится и его сумма в силу равенства (8) равна

, т. е.

, а это и есть равенство, которое требовалось доказать.
Замечание 1. Если ряд не мажорируем, то почленное интегрирование ряда не всегда возможно. Это надо понимать в том смысле, что интеграл

от суммы ряда (9) не всегда равен сумме интегралов от его членов (т. е. сумме ряда (9)).
Теорема 2. Если ряд u₁(x) + u₂(x) + … + u_n(x) + … (10) составленный из функций, имеющих непрерывные производные на отрезке [а, b], сходится на этом отрезке к сумме s(x) и ряд u'₁(x) + u'₂(x) + … + u'_n(x) + … (11) составленный из производных его членов, мажорируем на том же отрезке, то сумма ряда производных равна производной от суммы первоначального ряда, т. е, s' (х) = u'₁(x) + u'₂(x) + … + u'_n(x) + … Доказательство. Обозначим через F(х) сумму ряда (11): F (х) = s' (х) = u'₁(x) + u'₂(x) + … + u'_n(x) + … и докажем, что F (х) = s' (x). Так как ряд (11) мажорируем, то на основании предыдущей теоремы

Производя интегрирование, будем иметь

Но по условию s (x) = u₁ (х) + u₂ (х) + ...+ u_n (х) + ...,
s (a) = u₁ (a) + u₂ (a) + ...+ u_n (a) + ... каковы бы ни были числа x и а на отрезке [а, b]. Поэтому

. Дифференцируя по х обе части последнего равенства, получим F(x) = s' (х).    Таким образом, мы доказали, что при выполнении условий теоремы производная от суммы ряда равна сумме производных от членов ряда.
   Замечание 2. Требование мажорируемости ряда производных является весьма существенным, и его невыполнение может привести к невозможности почленного дифференцирования ряда. В подтверждение этого приведем пример мажорируемого ряда, не допускающего почленного дифференцирования.
   Рассмотрим ряд

. Этот ряд сходится к непрерывной функции, так как он мажорируем. Действительно, при любом х его члены по абсолютной величине меньше членов числового сходящегося ряда с положительными членами

. Напишем ряд, составленный из производных членов исходного ряда: cos x + 2²cos 2⁴x + … + n²cos n⁴x + ... Этот ряд расходится. Так, например, при х = 0 он превращается в ряд 1² + 2² + 3² +...+ n² +... (Можно показать, что он расходится не только при х = 0.)

Определение степенного ряда

Определение. Степенным рядом называется функциональный ряд вида

(12) где a₀, a₁, a₂, … a_n, … — постоянные числа называются коэффициентами.

Определение области сходимости степенного ряда

Определение. Областью сходимости степенного ряда называется множество значений аргумента x, при подстановке которых в степенной ряд последний превращается в сходящийся числовой ряд.

Теорема Абеля

1) Если степенной ряд сходится при некотором значении х₀, не равном нулю, то он сходится при всяком значении для которого | x | < | x₀ |.
2) Если степенной ряд расходится при некотором значении x'₀, то он расходится при всяком х, для которого | x | > | x'₀ |.

Доказательство.

1) Так как по предположению числовой ряд (13) сходится, то его общий член стремится к нулю . Пользуясь теоремой об ограниченности членов числовой последовательности, имеющей предел, можно утверждать, что существует такое число K > 0, что все члены числовой последовательности по абсолютной величине меньше этого K. Перепишем ряд (12) в виде (14) и рассмотрим ряд, состоящий из абсолютных величин его членов (15) Члены этого ряда меньше соответствующих членов ряда (16) При | x | < | x₀ | ряд (16) представляет собой геометрическую прогрессию со знаменателем и, следовательно, сходится. По первому признаку сравнения ряд (15) тоже сходится, а, значит, ряд (12) сходится абсолютно.
2) Пусть в какой либо точке x'₀ ряд (12) расходится. Докажем второе утверждение теоремы от противного: пусть при | x | > | x'₀| ряд сходится. Тогда в силу первой части теоремы ряд должен бы сходиться и при x'₀, что противоречит условию теоремы.

Теорема Абеля позволяет судить о расположении точек сходимости и расходимости степенного ряда. Действительно, если х₀ есть точка сходимости степенного ряда, то весь интервал ( - | x₀ |, | x₀ | ) заполнен точками абсолютной сходимости. Если х₀ есть точка расходимости степенного ряда, то вся бесконечная полупрямая вправо от точки | х₀ | и вся бесконечная полупрямая слева от точки - |х₀ | состоят из точек расходимости.
Таким образом, областью сходимости степенного ряда является интервал с центром в начале координат.

Радиус сходимости

   Максимальное значение R = | x₀ |, при котором ( - R, R) является интервалом сходимости, называется радиусом сходимости.
   На концах интервала (то есть при х = - R и х = R) вопрос о сходимости или расходимости данного ряда решается индивидуально для каждого конкретного ряда. У некоторых рядов интервал сходимости вырождается в точку (R = 0), у других охватывает всю ось Ox (R = ∞).
   Пусть имеем ряд

. Рассмотрим ряд, составленный из абсолютных величин его членов

. Для определения сходимости последнего ряда применим признак Даламбера:

. По признаку Даламбера ряд сходится, если L·| x | < 1, или | x | < 1/L и расходится, если L·| x | > 1 , или | x | > 1/L.
Из всего вышесказанного следует, что интервал (-1/ L; 1/L) является интервалом сходимости данного ряда. При этом предел

является радиусом сходимости степенного ряда. Аналогично, пользуясь радикальным признаком Коши, получим для радиуса сходимости степенного ряда другое соотношение