ЛЕКЦИЯ 5 К СОДЕРЖАНИЮ РАЗДЕЛА
  1. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.
  2. Ряд Тейлора.
  3. Ряд Маклорена.
  4. Разложение функции y = ex в ряд Маклорена.
  5. Разложение y = sin x в ряд Маклорена.
  6. Разложение функции y = cos x в ряд Маклорена.
  7. Разложение функции y = (1 + x)α в ряд Маклорена.
  8. Разложение функции в ряд Тейлора в пакете MAPLE.
  9. Вопросы для самопроверки.

Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа

   Если функция y = f (x) имеет в точке х = а и некоторой её окрестности производные до n - го порядка включительно, то в каждой точке этой окрестности она представима формулой Тейлора
,
    Если функция y = f (x) имеет в упомянутой окрестности точки х = а непрерывную производную ( n + 1 ) - го порядка, то остаточный член формулы Тейлора можно записать в виде
,
где с принадлежит рассматриваемой окрестности точки а , и эта запись носит название остаточного члена в форме Лагранжа.
   Доказательство. Рассмотрим две функции
и Gn(x) = (x - a) n+1.
Эти функции непрерывны на некотором интервале в окрестности точки х = а, дифференцируемы внутри него. Кроме того, F (a) = F ' (a) = F '' (a) = … = F(n) (a) = 0, G (a) = G ' (a) = G '' (a) = … = G(n) (a) = 0.
Таким образом, эти функции удовлетворяют обобщённой теореме Коши
,
где с принадлежит окрестности точки а. Последнее соотношение для рассматриваемых функций примет вид
.
Разрешая последнее соотношение относительно y = f (x), получим искомое соотношение
,
что и требовалось доказать.

Ряд Тейлора

   Если функция y = f (x) имеет производные всех порядков в окрестности точки х = а, то в формуле Тейлора число n можно брать сколь угодно большим. Если предположить, что , то, переходя в формуле Тейлора к пределу при n → ∞, справа получим бесконечный ряд, который называется рядом Тейлора:
Функцию
можно рассматривать как частичную сумму ряда
,
а функцию
можно рассматривать как остаток ряда. Поэтому
.

Ряд Маклорена

   Если положить а = 0, то ряд Тейлора примет вид ряда
,
который называется рядом Маклорена.

Разложение функции y = ex в ряд Маклорена

   Докажем, что
.
   Доказательство. По формуле Тейлора имеем
.
При фиксированном х величина ec ограничена. Далее,
.
Если х — фиксировано, то найдётся такое целое положительное N, что | x | < N. Введём обозначение . Поэтому
Величина — постоянна, так как от n не зависит, а предел . Поэтому .
Следовательно,
.
Последнее подтверждает справедливость разложения функции ex.
   На рисунке ниже приведены графики функций ex и многочлена
.
Как видно из рисунка, последняя функция достаточно точно описывает ex в некоторой окрестности начала координат.
Чем выше порядок разложения, тем больше окрестность, в которой многочлен достаточно точно приближает функцию. Ниже приведены графики функций ex и многочлена
.

Разложение функции y = sin x в ряд Маклорена

   Докажем, что
.
   Доказательство. Известно, что
.
Введём обозначение
.
Так как
,
то
.
Остаточный член стремится к нулю при любом х, данный ряд сходится и имеет в качестве суммы функцию sin x. На рисунке приведены графики функций sinx и многочлена
.
Как видно, последняя функция достаточно точно описывает sin x в некоторой окрестности начала координат, и чем выше порядок частичной суммы, тем с большей точностью и на большем интервале функцию можно заменить на частичную сумму её ряда тейлора.

Разложение функции y = cos x в ряд Маклорена

   Аналогично доказывается, что

Разложение функции y = (1 + x)α в ряд Маклорена

   Рассмотрим функцию
f (x) = (1 + x)α.
Значения производных этой функции в точке х = 0 равны
f (0) = 1,
,
,
,
………

.
Разложение этой функции по формуле Тейлора имеет вид
Здесь
называется остаточным членом в форме Лагранжа.
   Докажем, при любом α имеет место разложение
Для этого рассмотрим биноминальный ряд
Если α — натуральное число, то этот ряд содержит конечное число членов, отличных от нуля. Рассмотрим случай, когда α не является натуральным числом. В этом случае в этом ряде все члены отличны от нуля при х ≠ 0. Применив признак Даламбера к ряду с общим членом вида
,
получим
.
Ряд
сходится абсолютно, а значит просто сходится при | х | < 1 и расходится при | х | > 1. Найдём теперь чему равна сумма этого ряда. Для этого необходимо доказать, что остаточный член
,
где с = θ·x, где θ ∈ (0; 1), стремится к нулю при n → ∞. Для этого введём обозначения
, , .
Тогда Rn (x) = An (x)·Bn (x)·Cn (x). Величина A (x) является общим членом биноминального ряда с показателем α и в силу доказанной выше сходимости биноминального ряда при | х | < 1 имеем при | х | < 1, сходится и имеет своим пределом функцию y = (1 + x)α.
   Далее из неравенства
1 - | x | < 1 + θ·x < 1 + | x |
вытекает неравенство
,
из которого следует независимость величины В n( x ) от θ и ограниченность этой величины при | х | < 1. Функция
имеет разрыв в точке , в интервале [- 1; 1] функция С n(х) непрерывна, и, значит, ограничена. Используя свойства бесконечно малых, получим
,
что и доказывает, что суммой биномиального ряда является функция f (x) = (1 + x)α.

Разложение функции в ряд Тейлора в пакете MAPLE

> e:=taylor(sin(x),x=0,9);
> p:=convert(e,polynom);
> plot([sin(x),p],x=-5..5,thickness=2,color=[red,green],labels=[x,y]);
> e1:=series(exp(x),x=0,5);
> restart:with(plots):f:=(x)->sin(x):aprox:=proc(f,n,a,b) local i,m1,m,g ;for i from 1 to n do m1[i]:=taylor(f(x),x=0,i):m[i]:=plot(convert(m1[i],polynom),x=a..b):g:=plot(f(x),x=a..b,color=black,thickness=3):od;display([m[n],g]);end;

> aprox(f,7,-Pi,Pi);

Анимация приближения к функции многочленами Тейлора

> restart:with(plots):f:=(x)->sin(x):aprox:=proc(f,n,a,b) local i,m1,m,g ;for i from 1 to n do m1[i]:=taylor(f(x),x=0,i):m[i]:=plot(convert(m1[i],polynom),x=a..b,thickness=3):g:=plot(f(x),x=a..b,color=black,thickness=3):od:display([m[n],g]);end;

> display([seq(aprox(f,i,-Pi,Pi),i=1..5)],insequence=true);
(Анимация приближения)
> series(cos(x)/x, x=0, 8 );#Другой способ разложения в ряд

Вопросы для самопроверки

  1. Какой вид имеет формула Тейлора?
  2. Какой вид имеет формула Маклорена?
  3. Чем отличается формула Маклорена от формулы Тейлора?
  4. Какой вид имеет ряд Тейлора?
  5. Какой вид имеет ряд Маклорена?
  6. Какой вид имеет разложение функции y = ex в ряд Маклорена?
  7. Какой вид имеет разложение функции y = sin x в ряд Маклорена?
  8. Какой вид имеет разложение функции y = cos x в ряд Маклорена?
  9. Какой вид имеет разложение функции y = (1 + x)α в ряд Маклорена?
  10. Используя разложение функции y = (1 + x)α, получить разложение в ряд Маклорена функции
    , .