Лекция 6

ВВЕРХ

ЛЕКЦИЯ 6

К СОДЕРЖАНИЮ РАЗДЕЛА

Приближённые вычисления.
Вычисление определённых интегралов с помощью рядов.
Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов.

Приближённые вычисления

Вычислить приближённо значение

с точностью до α = 0,000001.
Представим это число в виде

. Вынося число 25 за знак корня, будем иметь

в таком слечае следует использовать разложение функции

в ряд Маклорена:
> p:=taylor(sqrt(1+x), x=0, 8 );

Находим коэффициенты разложения
> coeftayl(p, x=0, 2);
После этого находим каждое слагаемое разложения функции
> for i from 0 to 8 do evalf(coeftayl(p, x=0, i)*(3/25)^i) end do;
1
0.06
-0.0018
0.000108
-0.0000081
0.0000006804 … Из полученных слагаемых образуем знакочередующийся числовой ряд 1 + 0.06 - 0.0018 + 0.000108 - 0.0000081 + 0.0000006804 - … Из следствия теоремы Лейбница следует, что точность вычисления меньше первого отбрасываемого слагаемого. Поэтому надо найти слагаемое (это 0.0000006804 ) которое следует отбросить.
> 5*sum('evalf(coeftayl(p, x=0, i)*(3/25)^i)', 'i'=0..5);

» 5·(1 + 0.06 - 0.0018 + 0.000108 - 0.0000081) = 5.291503.

Вычисление определённых интегралов с помощью рядов

Вычислить интеграл

с точностью ε = 10^-4.
Решение. Используя разложение

, получим разложение подынтегральной функции

. (6.1) Так как промежуток интегрирования (0; 0,2) лежит в области сходимости (- ∞ + ∞), то интегрируя разложение (6.1), получим

Как видно из вышеприведённого, третье слагаемое меньше 10^-4, поэтому все слагаемые, начиная с третьего, можно отбросить

. Замечание. Вышерассмотренный интеграл относится к классу невычисляемым в элементарных функциях. С помощью рядов оказалось возможным найти приближённое его значение.

Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов

Найти три отличных от нуля разложения в ряд решения уравнения y '' = 2 x y ' + 4 y², (6.2) удовлетворяющее начальным условиям

. Решение. Будем искать решение этого уравнения в виде

. В этом разложении известны первое и второе слагаемое по начальным условиям. Выражение второй производной найдём из (6.1), подставив в него начальные условия: y ' (0) = 0. Продифференцируем уравнение, считая у неявной функцией переменной аргумента х

y ''' = 2 y ' + 2 x y '' + 8 y y '.

(6.3)

Подставим в (6.3) начальные условия и значение второй производной, получим значение третьей производной y ''' (0) = 2. Продифференцируем ещё раз выражение третьей производной

(6.4)

Аналогично из (6.4) для четвёртой производной получим значение y⁽⁴⁾ (0) = 8. Учитывая значения производных, получим разложение решения