ЛЕКЦИЯ 7К СОДЕРЖАНИЮ РАЗДЕЛА
  1. Определение тригонометрического ряда Фурье.
  2. Свойство тригонометрической системы функций на интервале [− π, + π ].
  3. Формулы для вычисления коэффициентов тригонометрического ряда Фурье.
  4. Пример.
  5. Разложение функции в ряд Фурье в пакете MAPLE.
  6. Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена.
  7. Интеграл Дирихле.
  8. Сходимость ряда Фурье в данной точке.
  9. Вопросы для самопроверки.

Определение тригонометрического ряда Фурье

   Функциональный ряд вида
или, более сжато, ряда вида
(7.1)
называется тригонометрическим рядом Фурье. Постоянные числа a0, an, bn (n = 1, 2,… ∞) называются коэффициентами тригонометрического ряда.

Свойство тригонометрической системы функций на интервале [− π, + π ].

   Скалярным произведением функций f(x) и g(x) на интервале [a, b] называется интеграл вида
.
    Нормой функции f (x) на интервале [a, b] называется интеграл вида
.
   Рассмотрим свойства системы тригонометрических функций
1, sin x, cos x, sin 2x, cos 2x, sin 3x, cos 3x, …, sin nx, cos nx (7.2)
на интервале [− π, + π].
   Если n ≠ m = 0, 1, 2, … , то
При n ≠ m = 0, 1, 2, … справедливо также
и
,
,
.
   Система функций (7.2) является ортогональной и нормированной на отрезке [− π, + π].

Формулы для вычисления коэффициентов тригонометрического ряда Фурье

Т е о р е м а. Пусть
(7.3)
и ряд, стоящий в правой части этого равенства, сходится равномерно на отрезке [- π, + π], тогда
,
,
.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Поскольку ряд Фурье сходится равномерно на отрезке [− π, + π], а его слагаемые являются непрерывными функциями на этом отрезке, то сумма этого ряда f (x) непрерывна на этом отрезке [− π, + π], а сам ряд можно почленно интегрировать на отрезке [− π, + π]:
Используя свойство ортогональности и нормированности системы функций (7.2), получим соотношение
.
Если правую и левую части соотношения (7.3) умножить на coskx
и проинтегрировать в промежутке [− π, + π], то
.
Учитывая свойство ортогональности и нормированности системы функций (7.2), получим
,
откуда имеем
.
   Аналогично доказывается соотношение
.

Пример

   Разложить функцию
в ряд Фурье в указанном интервале и выписать три первых члена ряда. Найти амплитуду и начальную фазу второй гармоники.
   Р е ш е н и е. Построим график рассматриваемой функции
Из графика видно, что функция не обладает свойством чётности, и не обладает свойством нечётности. Будем считать, что на интервале [− π, + π] указанная функция представляется тригонометрическим рядом Фурье:
.
Найдём коэффициенты Фурье
Подставим найденные коэффициенты Фурье
,,
в тригонометрический ряд:
.
Последнее представляет собой разложение указанной функции на заданном интервале в тригонометрический ряд Фурье. Выпишем три первых члена указанного разложения
.
Выражение Гn = an cos nx + bn sin nx называется гармоникой n – го порядка. Эту гармонику можно представить в виде
Гn = An sin ( nx + φn),
где
называется амплитудой гармоники, φn — начальной фазой гармоники. Начальная фаза определяется соотношениями
,.
Для данного примера вторая гармоника имеет вид
.
Амплитуда второй гармоники равна . Начальная фаза определится из соотношений sin φ2 = 0, cos φ2 = − 1. Следовательно, φ2 = π. Поэтому вторая гармоника в синусоидальном представлении перемет вид
.
Ниже приведены графики функции и трёх слагаемых тригонометрического ряда Фурье

Разложение функции в ряд Фурье в пакете MAPLE

> restart:with(plots):with(plottools):
> f:=(x)->piecewise(x>=-Pi and x<=0,-x,x<=Pi and x>=0,2*x);#Задаём функцию
> g:=plot(f(x),x=-Pi..Pi,color=black,thickness=4):p1 := line([-Pi,0], [-Pi,Pi], color=black, linestyle=3):p2 := line([Pi,0], [Pi,2*Pi], color=black, linestyle=3):f1:=plots[display](g,p1,p2):#Строится график функции
> a[0]:=1/Pi*int(f(x),x=-Pi..Pi);a:=(n)->1/Pi*int(f(x)*cos(n*x),x=-Pi..Pi);b:=(n)->1/Pi*int(f(x)*sin(n*x),x=-Pi..Pi);#Определяются коэффициенты разложения как функции n


> a(n);b(n);#Коэффициенты ряда Фурье

> g:=(n)->a(n)*cos(n*x)+b(n)*sin(n*x):#гармоника n - го порядка
> A:=(n)->sqrt((a(n))^2+(b(n))^2):#Амплитуда гармоники n - го порядка
> s:=(k)->a(0)/2+sum('g(n)','n'=1..k):
> plot(s(3),x=-Pi..Pi,color=red,thickness=3);#График частичной суммы третьего порядка ряда Фурье
> fig:=proc(k::integer);display({plot(s(k),x=-Pi..Pi,color=blue,thickness=2)}); end:
> display([seq(fig(k),k=1..10)],insequence=true,axes=NORMAL);# Анимация приближения частичных сумм ряда Фурье к функции на данном интервале
(Анимация приближения)
(Анимация приближения)

Приближение в среднем заданной функции с помощью тригонометрического многочлена

 ОпределениеСредним квадратичным уклонением δ функции φ (x) от функции f (x) называется величина, определяемая равентством
.
 Пусть дана периодическая с периодом 2 π функция f (x). Среди всех тригонометрических многочленов n - го порядка
найти путём выбора коэффициентов αk, βk тот многочлен, для которого среднеквадратичное уклонение, определяемое равенством
имеет наименьшее значение.
 Задача сводится к нахождению минимума функции 2n + 1 переменных α0, α1, … , αn, β1, β2, …, βn.
 Развернём скобки и проинтегрируем почленно
Так как
– коэффициенты Фурье для функции f (x). При любых k, j имеем
и при k ≠ j
Таким образом, получаем
.
Прибавляя и вычитая сумму
,
будем иметь
.
 Первые три слагаемых этой суммы не зависят от α0, α1, … , αn, β1, β2, …, βn. Остальные слагаемые
неотрицательны. Их сумма достигает наименьшего значения (равного нулю), если α0 = a0, α1 = a1, … , αn = an, β1 = b1, β2 = b2, …, βn = bn. При таком выборе коэффициентов α0, α1, … , αn, β1, β2, …, βn тригономентрический многочлен
будет меньше всего отличаться от функции f (x) в том смысле, что среднеквадратичное уклонение δn2 будет наименьшим. Таким образом доказано, что среди всех тригонометрических многочленов n – го порядка наименьшее среднеквадратичное уклонение от функции f (x) имеет тот многочлен, коэффициенты которого являются коэффициентами Фурье для функции f (x).
 Величина наименьшего среднеквадратичного уклонения равна
.
 Так как δn2 ≥ 0, то при любом n имеем
.
Следовательно, ряд, стоящий справа, при n → ∞ сходится, и можно написать
.
Это неравенство называется неравенством Бесселя.
 Для всякой ограниченной и кусочно монотонной функции среднеквадратичное уклонение, получающееся при замене данной функции её n - й частичной суммой ряда Фурье, стремится к нулю при n → ∞ и тогда справедливо равенство Ляпунова - Парсеваля
.
 Функция называется кусочно непрерывной на отрезке [ a, b ], если она имеет конечное число точек разрыва первого рода на этом отрезке.
 Теорема. Если функция f(x) кусочно непрерывна на отрезке [ - π, + π ], то её коэффициенты Фурье стремятся к нулю при n → ∞, т. е.
.
 Доказательство. Если функция f (x) является кусочно непрерывной на отрезке [ − π, + π ], то функция f 2(x) тоже является кусочно непрерывной на этом же отрезке. Тогда существует и является конечным числом. Из неравенства Бесселя следует сходимость ряда . По необходимому признаку сходимости вытекает . Отсюда непосредственно вытекает рассматриваемое свойство коэффициентов Фурье для кусочно непрерывной и ограниченной функции
.
 Если функция f(x) периодична с периодом 2 π, то последнее равенство можно записать в виде для любого а
.
Эти равенства остаются в силе, если в интегралах взять какой угодно промежуток интегрирования [ a, b ]
для любой ограниченной и кусочно непрерывной функции f(x). Действительно, считая b - a < 2 π, рассмотрим вспомогательную функцию φ (x) с периодом 2 π, определённую на интервале [ − π, + π ] следующим образом
φ (x) = f (x) при a ≤ x ≤ b,
φ (x) = 0 при b < x ≤ a + 2π,
тогда
.
Так как φ (x) есть ограниченная и кусочно непрерывная функция, то интегралы, стоящие справа, стремятся к нулю при n → ∞. Следовательно, стремятся к нулю и интегралы, стоящие слева. Таким образом, утверждение доказано, т.е.
 (1)
для любых чисел а и b и любой кусочно непрерывной и ограниченной на [ a, b ] функции f (x).

Интеграл Дирихле

 Интеграл Дирихле выражает n – ю частичную сумму ряда Фурье. Рассмотрим n – ю частичную сумму ряда Фурье
,
где
.
Подставляя эти вырадения в частичную сумму sn (x), получим
,
или
,
или
,
или
.
Преобразуем выражение, стоящее в квадратных скобках. Пусть
σn(z) = 1/2 + cos z + cos 2z + … + cos nz;
Тогда
2σn(z) cos z = cos z + 2cos z cos z + 2cos 2z cos z + … + 2cos nz cos z =
= cos z + (1 + cos 2z) + (cos z + cos 3z) + (cos 2z + cos 4z) + … + [ cos (n - 1) + cos (n + 1)] =
= 1 + 2cos z + 2cos 2z + … + 2cos (n - 1)z + cos nz + cos (n + 1)z
или
2σn(z) cos z = 2σn(z) - cos nz + cos (n + 1),
.
Но
,
.
Следовательно,
.
Таким образом, выражение для частичной суммы sn(z) можно записать в виде
.
Так как подинтегральная функция является периодияеской с периодом 2π, то интеграл сохраняет своё значение на любом отрезке интегрирования длины 2π. Поэтому
.
 Введём новую переменную α = t - x. Тогда получим формулу
. (2)
Интеграл, стоящий в правой части этой формулы называется интегралом Дирихле.
 Положим в этой формуле f (x) ≡ 1; тогда a0 = 2, ak = 0, bk = 0 при k > 0; следовательно, sn (x) = 1 при любом n, и мы получаем тождество
. (3)

Сходимость ряда Фурье в данной точке

 Пусть функция f (x) ограничена и кусочно непрерывна на отрезке [ − π, π ]. Умножая обе части тождества (3) на f (x) и подводя f (x) под знак интервала, получим равенство
.
Вычтем члены последнего равенства из соответствующих членов равенства (2), получим
. (4)
Сходимость ряда Фурье к значению функции f (x) в данной точке зависит от того, будет ли интеграл в левой части равенства (4) стремится к нулю при n → ∞. Воспользовавшись тем, что
,
разобьём интеграл (4) на два интеграла
. (5)
Разобьём первый из интегралов, стоящих в правой части равенства (5) на три интеграла
Положим . Так как f (x) – ограниченная кусочно непрерывная функция, то Ф1 (α) – тоже ограниченная и кусочно непрерывная периодическая функция от α. Следовательно, последний интеграл стремится к нулю при n → ∞, так как он является коэффициентом Фурье от этой функции. Функция
ограничена при − π ≤ α ≤ − δ и при δ ≤ α ≤ π и
,
где М – верхняя граница величины | f (x) |. Кроме того, функция Ф2 (α) является кусочно непрерывной. Следовательно, на основании формул (1) второй и третий интегралы стремятся к нулю при n → ∞. Таким образом,
. (6)
 В выражении (6), стоящем справа, интегрирование производится по промежутку - δ ≤ α ≤ δ, следовательно, интеграл зависит от значений функции f (x) только на промежутке от x − δ до x + δ. Из последнего следует предложение: сходимость рядов Фурье в данной точке x зависит лишь от поведения функции f (x) в как угодно малой окрестности этой точки.
 В этом заключается принцип локализации при исследовании рядов Фурье: если две функции f1 (x) и f2 (x) совпадают в окрестности некоторой точки x, то их ряды Фурье одновременно либо сходятся, либо расходятся в данной точке.

Вопросы для самопроверки

  1. Дайте определение скалярного произведения двух функций на заданном интервале.
  2. Дайте определениенормы функции на заданном интервале.
  3. Вычислите скалярное произведение функций sin 2x и cos 3x на интервале [− π, + π].
  4. Вычислите норму функции sin 2x и cos 3x на интервале [− π, + π].
  5. Каким свойством обладает система тригонометрических функций на интервале [− π, + π]?
  6. Что называется тригонометрическим рядом Фурье?
  7. Приведите соотношения для вычисления коэфяициентов Фурье.