ЛЕКЦИЯ 8 К СОДЕРЖАНИЮ РАЗДЕЛА
  1. Интеграл от нечётной функции по симметричному промежутку интегрирования.
  2. Интеграл от чётной функции по симметричному промежутку интегрирования.
  3. Теорема о сдвиге промежутка интегрирования периодической функции.
  4. Ряд Фурье для функции с периодом 2·l.
  5. Пример.
  6. Вопросы для самопроверки.

Интеграл от нечётной функции по симметричному промежутку интегрирования

   Т е о р е м а 1. Интеграл от нечётной функции по симметричному промежутку интегрирования равен нулю.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию теоремы функция f (x)определена на промежутке (− a; a ) и является на этом промежутке нечётной функцией:
f ( − x ) = − f ( x ).
В этом случае имеем

Интеграл от чётной функции по симметричному промежутку интегрирования

   Т е о р е м а 2. Интеграл от чётной функции по симметричному промежутку интегрирования равен удвоенному значению интеграла от этой функции по половине промежутка интегрирования.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию теоремы функция f (x) определена на промежутке (− a, a) и является на этом промежутке чётной функцией:
f ( - x ) = f ( x ).
В этом случае имеем

Теорема о сдвиге промежутка интегрирования периодической функции

   Т е о р е м а 3. Если функция f (x) является периодической периода 2π, то
.
каково бы ни было число λ.
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, так как f ( ξ − 2 π) = f ( ξ ),то, полагая x = ξ − 2·π, можно написать при любых с и d
.
В частности, принимая c = − π, d = λ, получим
,
поэтому

Ряд Фурье для функции с периодом 2·l

   Пусть функция f (x) есть периодическая функция с периодом 2·l, отличным от 2·π. Сделаем замену переменной
.
Тогда функция  будет периодической функцией от t с периодом 2·π. Её можно разложить в ряд Фурье на отрезке − π ≤ t ≤ π
,
где
,
,
.
Возвратимся теперь к старой переменной х:
.
Тогда будем иметь
,
,
и ряд Фурье для рассматриваемой функции примет вид
.
   З а м е ч а н и е. Все теоремы, которые имеют место для рядов Фурье с периодом 2·π, сохраняются и для рядов Фурье от периодической функции с каким – либо другим периодом 2·l.

Пример

   Разложить в ряд Фурье периодическую функция с периодом 4, которая на отрезке [− 2; 2] задаётся соотношениями
   Решение. Так как эта функция является нечётной на промежутке [− 2; 2], то a0 = 0; ak = 0,
Таким образом, разложение рассматриваемой функции в ряд Фурье представится в виде
.
Ниже показаны на интервале [− 2; 2] графики рассматриваемой функции и одиннадцатая гармоника

Вопросы для самопроверки

  1. Чему равен интеграл от нечётной функции по симметричному промежутку интегрирования?
  2. Чему равен интеграл от чётной функции по симметричному промежутку интегрирования?
  3. Сформулируйте теорему о сдвиге промежутка интегрирования периодической функции.
  4. Какая замена переменной применяется для того, чтобы периодическая функция с периодом T = 2·l стала периодической функцией с периодом T = 2·π?
  5. Какой вид имеет тригонометрический ряд Фурье для периодической функции с периодом T = 2·l?
  6. Какой вид имеют формулы для вычисления коэффициентов тригонометрического ряда Фурье?