ЛЕКЦИЯ 9 К СОДЕРЖАНИЮ РАЗДЕЛА
  1. Интеграл Фурье.
  2. Представление интеграла Фурье для непрерывной и разрывной функции.
  3. Частные случаи чётной и нечётной функции.
  4. Косинус – преобразование Фурье.
  5. Синус – преобразование Фурье.
  6. Интеграл Фурье в комплексной форме.
  7. Пример.
  8. Преобразование Фурье в математическом пакете MAPLE.
  9. Вопросы для самопроверки.

Интеграл Фурье

   Пусть функция f (x) определена на бесконечном интервале (- ∞, + ∞) и абсолютно интегрируема на нём, то есть существует интеграл
.
Пусть функция f (x) разлагается в любом интервале (- l, + l) в ряд Фурье
,
где
.
Подставим выражения этих коэффициентов в вышеприведённый тригонометрический ряд Фурье:
или
.
При l → ∞ первый член в правой части стремится к нулю:
.
Множители  под знаком косинуса можем рассматривать как дискретные значения
 некоторой переменной z , непрерывно меняющейся от 0 до + ∞; при этом выражение
,
стремятся к нулю при l → + ∞. В этих обозначениях ряд перепишется так:
.
Он напоминает интегральную сумму для функции
от z   в промежутке [0; + ∞). Переходя к пределу при l → + ∞, вместо ряда получим интеграл; таким путём приходим к интегральной формуле Фурье или интегралом Фурье:
.

Представление интеграла Фурье для непрерывной и разрывной функции

   Равенство в интеграле Фурье имеет место там, где функция f(x) непрерывна. В точках разрыва выполняется равенство
.

Частные случаи чётной и нечётной функции

   Преобразуем интеграл Фурье, раскрыв скобки cos z(u - x ) = cos zu·cos zx + sin zu·sin zx , подставив результат в интеграл Фурье, и преобразовав результат к виду:
(9.1)
Каждый из интегралов, стоящих в скобках, существует, так как f(x) абсолютно интегрируема в интервале (- ∞, + ∞), а, следовательно, абсолютно интегрируемы и функции f (u)·cos zu и f (u)·sin zu. Если f (x) — чётная функция, то f (u)·cos zu  — функция чётная, а f (u)·sin zu  — нечетная. Тогда
В этом случае
.  (9.2)
   Если f (x) — нечётная функция, то f (u)·cos zu  — функция нечётная, а f (u)·sin zu  — четная. Тогда
.
В этом случае
.  (9.3)
    Если функция f(x) определена только на интервале (0; + ∞), то эту функцию на интервале (0; + ∞) можно представить как формулой (9.2) так и формулой (9.3) в зависимости от того, как функцию f(x) доопределить на интервале (- ∞, 0): чётным или нечётным образом
   Заметим, что в точках разрыва вместо f (x) в формулах (9.2) и (9.3) следует писать
.

Косинус – преобразование Фурье

   Интегралы, стоящие в скобках соотношения (9.1), являются функциями переменной z. Введём для них обозначения
.
Формулу (9.1) при этом можно переписать в виде
. (9.4)
   Говорят, что формула (9.4) даёт разложения функции f (x) на гармоники с непрерывно меняющейся от 0 до + ∞ частотой z. Закон распределения амплитуд и начальных фаз в зависимости от z выражается через А (z) и B(z). Если в формуле (9.2) положить
, (9.5)
тогда формула (9.2) примет вид
. (9.6)
    Функция F (z) называется косинус – преобразованием Фурье для f (x). Если в равенстве (9.5) функцию F (z) считать заданной, а функцию f (x) — искомой, то (9.5) является интегральным уравнением. для функции f (x). Формула (9.6) в этом случае даёт решение уравнения (9.5).

Синус – преобразование Фурье

    Если в формуле (9.3) положить
, (9.7)
тогда формула (9.3) примет вид
. (9.8)
Функция Ф(z) называется синус – преобразованием Фурье для f (x).
   Если в равенстве (9.7) функцию Ф(z) считать заданной, а функцию f (x) — искомой, то (9.7) является интегральным уравнением. для функции f (x). Формула (9.8) в этом случае даёт решение уравнения (9.7).

Интеграл Фурье в комплексной форме

   В интеграле Фурье подынтегральная функция переменной z является чётной поэтому интеграл Фурье
можно переписать в виде
. (9.9)
Далее очевидно, что
.  (9.10)
Умножая (9.9) на - i и складывая с (9.10), получим, используя формулу Эйлера,
. (9.11)
   Правая часть соотношения (9.11) называется интегралом Фурье в комплексной форме для функции f (x). Если (9.11) переписать в виде
(9.12)
и ввести обозначение
, (9.13)
то (9.12) можно записать в виде
. (9.14)
Переменная z Î ( - ∞, + ∞) называется волновым числом, спектр волновых чисел является непрерывным. Функция C (z) называется спектральной функцией. Если равенство (9.12) записать в виде
, (9.15)
. (9.16)
Функция F* (z), определяемая формулой (9.15), называется преобразованием Фурье, соотношение (9.16) называется обратным преобразованием Фурье.

Пример

   Найти преобразование Фурье для функции
График этой функции имеет вид
Для нахождения преобразования Фурье необходимо вычислить интеграл
График спектральной плотности этой функции имеет вид

Преобразование Фурье в математическом пакете MAPLE

> with(inttrans):assume(lambda>0,a>0):convert(fouriersin(exp(-a*t),t,s),int);

Вопросы для самопроверки

  1. Какие значения принимает интеграл Фурье в точках непрерывности и в точках разрыва функции?
  2. Какой вид имеет интеграл Фурье?
  3. Какой вид имеет интеграл Фурье для чётной и нечётной функций?
  4. Что называется синус – преобразованием Фурье?
  5. Что называется косинус – преобразованием Фурье?
  6. Какой вид имеет интеграл Фурье в комплексной форме?