К разделу
ЛЕКЦИЯ 1К СОДЕРЖАНИЮ РАЗДЕЛА
  1. Комплексные числа.
  2. Модуль и аргумент комплексного числа.
  3. Тригонометрическая форма комплексного числа.
  4. Сложение комплексных чисел в алгебраической форме.
  5. Умножение комплексных чисел в алгебраической форме.
  6. Деление комплексных чисел в алгебраической форме.
  7. Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме.
  8. Деление комплексных чисел в тригонометрической форме.
  9. Возведение в степень и извлечение корня.
  10. Решение квадратных уравнений в случае отрицательного дискриминанта.
  11. Решение кубического уравнения
  12. Действия с комплексными числами в пакете MAPLE.
  13. Вопросы для самопроверки.

Комплексные числа

   Комплексным числом называется выражение вида
z = a + b·j,                        (1.1)
где а = Rez — действительная часть комплексного числа; b = Im z — мнимая часть. Под символом j понимается символ, для которого j2 = - 1. Далее имеют место соотношения j 3 = - j, j 4 = 1 и т. д.
   Множество действительных чисел является подмножеством комплексных чисел, получаемых при b = 0. Если а = 0 и b = 0,то z = 0. Два комплексных числа z1 = a 1 + b 1·j и z2 = a2 + b2·j равны z1 = z 2, если равны их действительные и мнимые части а1 = а2 и b1 = b2.
Числа z = a + b j и  называются сопряжёнными.

Модуль и аргумент комплексного числа

   Каждому комплексному числу соответствует точка на плоскости и, обратно, каждой точке на плоскости соответствует комплексное число (рис. 1.1). Действительная часть комплексного числа откладывается на оси абсцисс, мнимая часть комплексного числа откладывается на оси ординат. Ось абсцисс называется действительной осью, ось ординат — мнимой.
   Комплексные числа можно изображать в виде векторов на плоскости (рис. 1.2).
   Расстояние точки, изображающей комплексное число, до начала координат называется модулем комплексного числа
                        (1.2)
   Угол между вектором, соответствующим комплексному числу, и осью абсцисс, называется аргументом комплексного числа (рис. 1.3), при этом φ = argz ∈ [0; 2· p) и
                        (1.3)

Тригонометрическая форма комплексного числа

   Из (1.3) имеем а = r· cosφ, b = r·sin φ и комплексное число (1.1) можно представить в тригонометрической форме
z = r·( cos φ + j·sin φ)                        (1.4)

Сложение комплексных чисел в алгебраической форме

z1 ± z2 = (a1 + b1 j ) ± ( a2 + b2 j ) = (a1 ± a2) + j( b1 ±b2).

Умножение комплексных чисел в алгебраической форме

z1· z2 = (a1 + b1j)· (a2 + b2j) = (a1·a2 - b1 b2) + (a1·b2 + b1a2)· j.
   Произведение сопряжённых чисел равно сумме квадратов действительной и мнимой частей комплексного числа:
.

Деление комплексных чисел в алгебраической форме


.
   Сложение и умножение комплексных чисел подчиняются обычным алгебраическим законам.
  1. Сложение и умножение комплексных чисел обладают свойством коммутативности
    z1 + z2 = z2 + z1,    z1·z2 = z2·z1.
  2. Сложение и умножение комплексных чисел подчиняются ассоциативному закону
    (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3),    (z1· z2)·z3 = z1·( z2·z3)
  3. Сложение и умножение комплексных чисел связаны дистрибутивным законом
    (z1 + z2)·z3 = z1·z3 + z2·z3.

Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме


   При умножении комплексных чисел их модули умножаются и аргументы складываются.

Деление комплексных чисел в тригонометрической форме

   Модуль частного комплексных чисел равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент частного равен разности аргументов делимого и делителя.

Возведение в степень и извлечение корня


   Возведение комплексного числа z в целую положительную степень n можно производить с помощью бинома Ньютона
zn = (a + j·b)n.
   В тригонометрической форме возведение в степень можно выполнять по формуле Муавра
zn = rn·( cos nφ + j·sin nφ).
   Чтобы возвести комплексное число z в в целую положительную степень n можно возвести в эту степень его модуль, а аргумент умножить на показатель степени.
   Теорема. Из всякого комплексного числа z ≠ 0 можно извлечь корень n – й степени, причём получается всего n различных значений.

Решение квадратных уравнений в случае отрицательного дискриминанта

   Ставится вопрос о решении квадратного уравнения
ax2 + bx + c = 0
в случае, когда дискриминант этого уравнения D = b2 - 4 ac < 0. В этом случае действительных корней нет. Однако, и вэтом случае корни квадратного уравнения есть, только они не действительные, а комплексные. В этом случае можно поступить так
.
Как видно, в случае отрицательного дискриминанта корни квадратного уравнения являются комлексно - сопряжёнными.

Решение кубического уравнения

   Рассмотрим решение кубического уравнения
ax3 + bx2 + cx + d = 0, a ≠ 0.                        (1.4)
   Выполним преобразование . В результате этого преобразование кубическое уравнение примет вид
y3 + p y + q = 0,                        (1.5)
где
                        (1.6)
   Положим далее
y = u + v.
Уравнение (1.4) примет вид
u3 + 3 u2v + 3 u v2 + v3 + p (u + v) + q = 0,
или
u3 + v3 + 3 u v (u + v) + p (u + v) + q = 0,                         (1.7)
или
u + v) (3 u v + p) + u3 + v3 + q = 0 .
Так как вместо одного неизвестного y ввели два неизвестных u и v, то одно из них можно выбрать произвольно; можно установить между u и v ещё одну произвольную зависимость. Пользуясь этим, потребуем, чтобы 3 u v + p = 0. Тогда уравнение (1.7) примет вид
u3 + v3 + q = 0.
   Таким образом, мы пришли к системе уравнений:
или
В этой систем за неизвестные примем u3 и v3. Тогда они определятся как корни квадратного уравнения
.
Таким образом,
и
.
   Определив отсюда u и v, найдём для неизвестного у соотношение
.
   Последняя формула называется формулой Кардано для решения кубического уравнения, и полные сведения о этой формуле излагаются в учебниках по высшей алгебре. Все три корня кубического уравнения получаются следующим образом
y1 = u + v, y2 = ε u + ε2 v, y3 = ε2 u + ε v,                         (1.8)
где есть второе значение , а , есть его третье значение.
   Выражение
                        (1.9)
называется дискриминантом кубического уравнения (1.4).
   Пример. Решить уравнение y 3 - 6 y + 4 = 0.
   Решение. Дискриминант рассматриваемого кубического уравнения равен
.
Функции u и v принимают вид
, ,
однако, легко видеть, что
u = 1 + i, v = 1 - i
и формулы (1.8) дают три различных действительных корня
y1 = 2, .
   Обращение в нуль дискриминанта 1.9) является условием того, что уравнение (1.4) имеет два равных корня.

Действия с комплексными числами в пакете MAPLE

> Complex(2, 3);#Задание комплексного числа своей действительной и мнимой частями
2 + 3 I
> Complex(2, 3)*Complex(3,5);#С такой формой записи комплесного числа можно выполнять действия умножения
- 9 + 19 I
> Complex(2,3)/Complex(3,5);#Деления и все алгебраические операции
> sqrt(Complex(2,3));
> I^2;#Свойство символа-мнимой единицы
- 1
> (10+5*I)*(3+4*I);#Умножение комплесных чисел с открытой формой записи
10 + 55 I
> (10+5*I)/(3+4*I);# Деление комплесных чисел с открытой формой записи
2 - I
> solve(x^2+2*x+10=0);#Решение алгебраических уравнений
- 1 + 3 I, - 1 - 3 I
> conjugate(3+2*I);#Сопряжённое комлесное числа
3 - 2 I
> evalc(2^(1+I));#Действия с комплексными числами
2 cos (ln(2)) + 2 I sin (ln(2))
> abs(2+I*3);#Модуль комплексного числа
> argument(-3+4*I);#Аргумент комплексного числа
> polar(-3+4*I);#Нахождение модуля и аргумента комплесного числа
> Re(3+4*I);#Действительная часть комплексного числа
3
> Im(3+4*I);#Мнимая часть комплексного числа
4

Вопросы для самопроверки.


  1. Что называют комплексным числом?
  2. Что называют действительной частью комплексного числа?
  3. Что называют мнимой частью комплексного числа?
  4. Какие комплексные числа называются сопряжёнными?
  5. Как изобразить комплексное число на плоскости?
  6. Какая особенность расположения сопряжённых чисел на плоско-сти?
  7. Что называют аргументом комплексного числа?
  8. Что называют модулем комплексного числа?
  9. Что называют тригонометрической формой записи комплексного числа?
  10. Что называют показательной формой записи комплексного чис-ла?
  11. Как выполнить сложение комплексных чисел в алгебраической форме?
  12. Как выполнить умножение комплексных чисел в алгебраической форме?
  13. Как выполнить деление комплексных чисел в алгебраической форме?
  14. Как выполнить умножение комплексных чисел в тригонометриче-ской форме их записи?
  15. Как выполнить деление комплексных чисел в тригонометрической форме их записи?
  16. Как выполнить возведение в степень комплексных чисел в тригонометрической форме их записи?
  17. Как выполнить извлечение корня из комплексного?