К разделу
ЛЕКЦИЯ 2К СОДЕРЖАНИЮ РАЗДЕЛА
  1. Комплексная плоскость.
  2. Стереографическая проекция.
  3. Расширенная комплексная плоскость.
  4. Множества точек на расширенной комплексной плоскости.
  5. Функция комплексной переменной, область определения, отображения.
  6. Предел, непрерывность функции комплексной переменной.
  7. Пример.
  8. Вопросы для самопроверки.

Комплексная плоскость

 Обозначим через Е2 евклидову плоскость с декартовыми ортогональными координатами х и у. Так как комплексное число z = x + i·у является парой (х, у) действительных чисел, а множество всевозможных пар (х, у) действительных чисел находится во взаимно однозначном соответствии с конечной частью Е2, то каждую конечную точку (х, у ) ∈ Е2 можно принять за изображение комплексного числа z = x + i·у. В таком истолковании Е2 можно назвать комплексной плоскостью, а z — точками этой плоскости.

Стереографическая проекция

 В евклидовом пространстве Е3 с декартовыми ортогональными координатами x, у, z рассмотрим сферу S с центром в точке (0, 0, ½) радиуса 1/2 :
ξ 2 + η 2 + ς 2 - ς = 0.(1)
 Так как точки Р, М и z лежат на одной прямой, то , или
(2)
Учитывая модуль комплексного числа
и уравнение сферы (1), получим , откуда имеем
 (3)
Подставляя (3) в (2), получим
(4)
Формулы (3) и (4) называют формулами стереографической проекции. Стереографическая проекция ставит во взаимное однозначное соответствие точки плоскости с точками на сфере.

Расширенная комплексная плоскость

 Введём в рассмотрение идеальное комплексное число z = ∞ и дополним комплексную плоскость присоединением к ней единственной бесконечно удалённой плоскости, соответствующей числу z = ∞. Комплексная плоскость вместе с бесконечно удалённой точкой будет называться расширенной комплексной плоскостью.
 Дополняя соответствие, установленное стереографической проекцией (3) и (4), сопоставление полюсу Р сферы точки z = ∞, получим взаимно однозначное соответствие между сферой и расширенной комплексной плоскостью. Следовательно, каждую точку сферы можно рассматривать как изображение соответствующей точки расширенной комплексной плоскости.

Множества точек на расширенной комплексной плоскости

 Окрестностью С( δ, z0) точки z0 комплексной плоскости называется множество точек z, удовлетворяющих неравенству | z – z0 | < δ , где δ — заданное положительное число. Это множество представляет собой круг радиуса δ с центром в точке z0.
 Окрестностью С( δ, ∞) бесконечно удалённой точки называется множество точек z расширенной комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству | z | > δ.
 Множество Е называется ограниченным, если можно указать такое положительное число δ, такое, что С(δ, 0) содержит в себе множество Е: Е ⊂ С( δ, 0).
 Точка z0 называется изолированной точкой множества Е, если существует такое δ > 0, что в окрестности С( δ, z0) нет других точек множества Е, кроме точки z0: Е ∩ С( δ, z0) = z0.
 Точка z0 называется внутренней точкой множества Е, если существует такое δ > 0, что в окрестности С(δ, z0) нет других точек кроме точек множества Е: Е ∩ С( δ, z0) = Е.
 Множество, состоящее из внутренних точек, называется открытым.
 Множество Е называется связанным, если любые две точки множества Е, можно соединить ломаной, состоящей из точек множества Е.
 Если множество G открыто и связано, то оно называется областью.
 Граничной точкой области G называется точка, которая сама не принадлежит области G , но любая ε – окрестность которой содержит точки области G .
 Область G с присоединённой границей называется замкнутой областью. Замкнутую область будем обозначать . Число связанных частей, на которые разбивается граница, называется порядком связанности.
 Положительным направлением обхода называется такое направление, при котором обходимая область остаётся слева. Область G называется ограниченной, если она лежит внутри некоторого круга конечного радиуса.

Функция комплексной переменной, область определения, отображения

    На множестве Е ⊂ С задана функция комплексного аргумента z, если задано правило, по которому каждому значению z ∈ Е ставится в соответствие одно или несколько комплексных чисел w. Символически это соответствие записывается в виде w = f (z). Функция f (z) называется однозначной, если каждому значению z ∈ Е ставится в соответствие только одно комплексное число w. Множество чисел w , соответствующие всем z ∈ Е, называется множеством значений функции f (z). Функция комплексного аргумента z = x + i·y равносильна заданию двух функций u и v двух действительных переменных х и у: w(z) = u (x, y) + i v (x, y). Функции u (x, y) и v (x, y) определены в некоторой области G плоскости действительных переменных х и у, соответствующей этой же плоскости комплексного аргумента z , и называются соответственно действительной и мнимой частью функции w = f (z).
 Функция w = f (z) отображает область G ⊂ C в область G1 ⊂ C. Функцию w = f (z) называют однолистной в области G, если различным значениям z в этой области соответствуют различные значения функции w.

Предел, непрерывность функции комплексной переменной

 Говорят, что последовательность точек {zn} сходится к точке z0 , если
∀ ε > 0 ∃ N = N(ε) ∀ n > N: | zn – z0 | < ε.
 Функция w = f (z) имеет предел w 0 в точке z0 , если
∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε, z0) > 0 ∀ 0 < | z – z0| < δ : | f (z) – w0 | < ε.
Это записывается в виде
.
Для функции f (z) = u (x, y) + i v (x, y) из существования предела в точке z0 = x 0 + iy0 следует существование пределов
,
причем w0 = u 0 + iv0.
 Функция f (z) называется непрерывной в точке z0, если
∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε, z0) > 0 ∀ | z – z0| < δ: | f (z) – f (z0)| < ε.
 Функция f (z) называется непрерывной в области G, если она непрерывна в каждой точке этой области. Если действительная u (x, y) и мнимая v (x, y) части функции f (z) являются непрерывными функциями аргументов x, y, то функция f (z) непрерывна.
 Для непрерывных функций комплексного переменного справедливы свойства
  1. Сумма конечного числа непрерывных функций есть непрерывная функция.
  2. Произведение конечного числа непрерывных функций есть непрерывная функция.
  3. Пусть w1 = f1 (z) отображает множество Е плоскости z на множество Е1 плоскости w1, а w 2 = f2(w1) — множество Е1 плоскости w1 на множество Е2 плоскости w2. Если функции f1 (z) и f2(w 1) непрерывны, то суперпозиция функций f (z) = f2 (f1(z)) отображает множество Е на множество Е2 и является непрерывной функцией.
  4. Модуль непрерывной функции в замкнутой области достигает своего максимального и минимального значения.
  5. Непрерывная в замкнутой области функция является равномерно непрерывной в этой области.
    Функция f (z) называется равномерно – непрерывной в области G, если
∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 ∀ | z1 – z2 | < δ : | f (z1) – f (z 2)| < ε.

Пример

 Рассмотрим функцию w = a·z, где a — некоторое комплексное число, для которого |a| = k, arg a = j.
Согласно правилу умножения комплексных чисел, отображение плоскости z на плоскость w сводится к растяжению всех векторов плоскости z в k раз и к повороту их на угол j. Смотри рисунок

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется комплексной плоскостью?
  2. Что называется стереографической проекцией?
  3. Что называется расширенной комплексной плоскостью?
  4. Что называется окрестностью точки z 0 комплексной плоскости?
  5. Что называется окрестностью точки z 0 = ∞ комплексной плоскости?
  6. Какое множество комплексной плоскости называется ограниченным?
  7. Какое множество комплексной плоскости называется открытым?
  8. Какая точка области называется изолированной?
  9. Какая точка области называется внутренней?
  10. Какое множество комплексной плоскости называется связанным?
  11. Дайте определение функции комплексного переменного?
  12. Как определяется предел функции комплексного переменного?
  13. Как определяется непрерывность функции комплексного переменного?
  14. Как определяется равномерная непрерывность функции комплексного переменного?
  15. Перечислите свойства непрерывной функции комплексного переменного.