ЛЕКЦИЯ 3

ЛЕКЦИЯ 3

Производная функции комплексного переменного.
Условия Коши – Римана.
Гармонические функции.
Геометрический смысл аргумента производной аналитической функции.
Геометрический смысл модуля производной аналитической функции.
Пример.
Вопросы для самопроверки.

Производная функции комплексного переменного

Пусть функция f (z) определена и непрерывна в некоторой области G. Производной функции w = f (z) в точке z называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

. Этот предел должен существовать и не должен зависеть от способа стремления Δz к нулю. Функция w = f (z) называется аналитической в области G, если в каждой точке этой области функция определена, непрерывна и в каждой точке этой области cуществует производная функции.
Введённое определение производной от функции комплексного переменного совпадает с определением производной функции действительного переменного, поэтому все правила дифференцирования функции действительного переменного справедливы и для функции комплексного переменного.

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций: [ f (z) + g (z) ]' = f '(z) + g '(z).
Производная произведения двух функций равна произведению производной от первой функции на вторую плюс произведение производной второй функции на первую:[ f (z) · g (z) ]' = f '(z)·g (z) + f (z)·g '(z).
Производная дроби представляет собой дробь. Знаменатель которой равен квадрату знаменателя дифференцируемой дроби. Числитель этой дроби равен разности произведения производной числителя на знаменатель и произведения производной знаменателя на числитель:.
Пусть w₁ = f₁ (z) отображает множество Е плоскости z на множество Е₁ плоскости w₁, а w₂ = f₂(w₁) — множество Е₁ плоскости w₁ на множество Е₂ плоскости w₂. Пусть f₁ (z₀) = w₁₀ и f₂ (w₁₀) = w₂₀ и существуют производные f₁ ' (z₀), f₂ ' (w₁₀). Тогда производная от сложной функции f (z) = f₂ (f₁(z)) существует и находится по правилу .
Пусть имеется функция w = f (z), где z ∈ G и которая однозначно отображает область G плоскости z на некоторую область G₁ плоскости w. Если обратная функция z = φ (w) непрерывна в точке w₀ = f (z₀) и существует производная f ' (z₀) , то существует производная обратной функции .

Условия Коши – Римана

Теорема. Для того, чтобы функция w = f (z) = u +iv, определённая в некоторой окрестности точки z₀, имела производную в этой точке, необходимо и достаточно, чтобы

1) функции u(x , y) и v(x, y), были дифференцируемы в точке z₀ по х и у;
2) в точке z = z₀ выполнялись условия Коши – Римана
и .

Доказательство (необходимость). Пусть функция f (z) имеет производную в точке z = z₀, то есть существует предел

. Этот предел не зависит от способа стремления Δz к нулю. Положим, что Δz = Δх, тогда

. Пусть теперь Δz = i·Δy

. Необходимое условие доказано.
Докажем достаточность. Положим, что функции u(x, y) и v(x, y) дифференцируемы по х и у и удовлетворяют условию Коши – Римана. Из дифференцируемости функций u(x, y) и v(x, y) следует

. Тогда с учётом условий Коши – Римана

Перейдём к пределу при Δz → 0

. Используя условие Коши – Римана можно записать

Гармонические функции

Функция u(x, y) двух переменных х и у называется гармонической, если она имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа

. Функция v(x, y) называется сопряжённой гармонической функцией по отношению к гармонической функции u(x, y), если функция v(x, y) — гармоническая функция и вместе с u(x, y) удовлетворяет условию Коши – Римана.
Теорема. Вещественная и мнимая части u(x, y) и v(x, y) аналитической функции f (x) являются гармоническими сопряжёнными функциями от х и у.
Доказательство. Пусть u (x, y) и v (x, y) удовлетворяет условию Коши – Римана

Дифференцируя первое уравнение по х, а второе по у, получим после сложения

. Аналогично получим

Геометрический смысл аргумента производной аналитической функции

Пусть функция f (x) аналитична в некоторой области, причём в точке М(z₀) и f ' (z₀) ≠ 0. Образом линии L_z является линия L_w. Пусть точки М и М₁ на плоскости z соответствуют значениям z₀ и z = z₀ + Δz . А точки N и N₁ на плоскости w соответствуют значениям w₀ и w = w₀ + Δw. Тогда α = arg Δz, β = arg #916;w. Следовательно,

. Если Δ z → 0, то точка М₁ будет стремиться к М, а точка N₁ будет стремиться к N. Секущие MM₁ и NN₁ в пределе займут положения касательных и

. Аргумент производной функции f ' (z₀) в точке z₀ представляет собой угол поворота касательной к кривой L_z в точке z₀ при отображении этой кривой на плоскость w при помощи функции f(z).

Геометрический смысл модуля производной аналитической функции

Рассмотрим предел модуля

. Откуда видно, что модуль производной характеризует растяжение (модуль производной равен коэффициенту растяжения) бесконечно малых векторов, выходящих из точки z₀ при отображении с помощью функции w = f(z). Это растяжение не зависит от направления бесконечно малого вектора, то есть растяжение одинаково по всем направлениям.
Отображение с помощью аналитической функции в окрестности одной точки будет подобным или конформным (сохраняющим форму).

Пример

Восстановить аналитическую в окрестности точки z₀ = 0 функцию f (z) по известной действительной части u(x, y) = e^-y·cos x + x и значению f (0) = 0.
Решение. Если функция f(z) аналитическая, то действительная и мнимая части этой функции удовлетворяют условиям Коши – Римана

. Учитывая выражение действительной части функции, условие Коши – Римана примет вид

Интегрируя первое уравнение этой системы по у, получим v = e^-y·sin x + y + C(x), где С (х) — произвольная функция аргумента x. Подставив найденное выражение во второе уравнение системы, получим e ^-y·cos x + C '(x) = e ^-y·cos x, или C '(x) = 0. Таким образом C (x) = C = const. Учитывая вышесказанное, получим выражение для искомой функции u(x, y) = e^-y·cosx + x f (z) = e^-y·cos x + x + i·(e^-y·sin x + y + C). Учитывая значение функции f (0) = 0, получим 1 + i·C = 0, откуда С = i . Окончательно получим f (z) = e^-y·cos x + x - 1 + i·(e^-y·sin x + y) = e^iz + z - 1. Ответ: f (z) = e^iz + z - 1.

Вопросы для самопроверки

Дайте определение производной функции комплексного переменного.
Перечислите основные правила дифференцирования функции комплексного переменного.
Запишите условия Коши – Римана.
Чем являются условия Коши – Римана для дифференцируемости функции комплексного переменного.
Какой геометрический смысл имеет аргумент производной функции комплексного переменного.
Какой геометрический смысл имеет модуль производной функции комплексного переменного.