К разделу
ЛЕКЦИЯ 4К СОДЕРЖАНИЮ РАЗДЕЛА
  1. Понятие интеграла функции комплексного переменного.
  2. Теорема существования интеграла функции комплексного переменного.
  3. Свойства интеграла функции комплексного переменного.
  4. Интегральная теорема Коши.
  5. Следствие теоремы Коши.
  6. Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу.
  7. Первообразная аналитической функции.
  8. Формула Коши.
  9. Примеры.
  10. Вопросы для самопроверки.

Понятие интеграла функции комплексного переменного

       Пусть дана функция комплексного переменного w = f(z), непрерывна в некоторой области G плоскости z, и некоторая кривая l целиком лежащая в области G. Разобьём кривую l на n частей и составим сумму вида , где Δzk = zk – zk-1; ck — произвольная точка на дуге (zk-1, zk). Обозначим  и рассмотрим предел
. (1)
Если этот предел существует и не зависит от способа разбиения кривой l на части и от выбора точек сk, то он называется интегралом от функции f(z)вдоль кривой l.

Теорема существования интеграла функции комплексного переменного

   Теорема. Если кривая l — кусочно-гладкая, а функция кусочно-непрерывная и ограниченная, то интеграл существует.
 Доказательство. Пусть f (z) = u(x, y) + v(x, y) i и zk = xk + yk i, xk – xk-1 = Δxk, u(xk, hk) = uk, ck = xk + ihk, yk – yk-1 = Δyk, v(xk, hk) = vk, тогда
.
Переходя к пределу в обеих частях равенства при n → ∞, так, что  и , получим
. (2)
Криволинейные интегралы, стоящие в правой части равенства (2) существуют, так как из кусочной непрерывности и ограниченности функции f(z) следует кусочная непрерывность и ограниченность её действительной и мномой части u(x, y) и v(x, y).
 Линия l является спрямляемой, то выполнены все условия существования криволинейного интеграла второго рода.
 Формула (2) даёт способ вычисления интеграла (1) через криволинейные интегралы функции действительного переменного.

Свойства интеграла функции комплексного переменного

  1. При изменении направления интегрирования знак интеграла меняется на обратный:
    .
  2. Если кривую l разбить на части l = l1∪ l2, то интеграл по кривой равен сумме интегралов по отдельным частям:
    .
  3. Для любых постоянных k1 и k2 справедливо равенство
    .
  4. Оценка по модулю. Если и s — длина линии l, то
    . (3)
       Доказательство проведём для свойства 4. Из определения интеграла имеем
. (4)
Сумма  представляет собой длину ломаной, вписанной в кривую l. Переходя к пределу в равенстве (4) при n → ∞ и , получим равенство (4).
 В частности для вычисления длины кривой l имеем
.

Интегральная теорема Коши

   Теорема. Если функция f (z) аналитична в односвязной области G, то интеграл по любому спрямляемому замкнутому контуру, лежащему в этой области, равен нулю:
.
       Доказательство. Доказательство проведём в предположении непрерывности производной функции. Так как
,
то криволинейный интеграл
по любому замкнутому контуру при выполнении условия
,
и криволинейный интеграл
при выполнении условия
.
Но эти условия совпадают с условиями Коши – Римана, так как по условию теоремы функция f (z) является аналитической в области G. Следовательно, каждый из рассматриваемых криволинейных интегралов равен нулю, что и доказывает теорему.
 Замечание. В случае неодносвязной области интегральная теорема Коши в общем случае не верна. Пусть область G определяется неравенством 1 < | z | < 2.
Функция  аналитическая в области G, но интеграл от этой функции вдоль окружности L не равен нулю
.

Следствие теоремы Коши

 Пусть дана односвязная область G и две спрямляемые кривые l1 и l2, целиком лежащие в G и имеющие общие концы А и В. Тогда для любой аналитической в области G функции f(z) справедливо равенство
.

Теорема о производной интеграла по переменному верхнему пределу

   Теорема. Если функция f(z) определена и непрерывна в односвязной области G и интеграл от этой функции по любой замкнутой кривой l, лежащей целиком в G, равен нулю, то функция
,
где z, z0 ∈ G, причём точка z0 фиксирована, является аналитической в области G и F ' (z) = f (z).
 Доказательство. Пусть точка z + Δz принадлежит области G. Так как интеграл по замкнутому контуру равен нулю, то, используя свойства интеграла, можно записать
.
Смотри рисунок
Интегрируя по прямой, соединяющий точки z и z + Δz, будем иметь
.
Оценим модуль разности
Так как функция f (z) непрерывна в области G, то
∀ ε > 0 ∃ δ = δ(ε) > 0 ∀ | Δz| < δ: .
Таким образом, когда |Δz | < δ, то выполняется неравенство
.
По определению предела функции это означает
.

Первообразная аналитической функции

       Пусть дана аналитическая функция f (z) в некоторой области G. Функция F(z) называется первообразной от функции f(z), если F ' (z) = f (z).
 Интеграл с переменным верхним пределом является первообразной от подынтегральной функции на верхнем пределе.
 Теорема. Две первообразные от одной и той же функции f(z) отличаются друг от друга на постоянную величину.
 Доказательство. Пусть F1(z) и F2(z) являются первообразными от функции f(z). Рассмотрим функцию F(z) = F1(z) - F2(z). Имеем
.
Если Ф (z) = u(x, y) + i v(x, y), то
,
следовательно,
,
откуда u(x, y) = c1, v(x, y) = c2, или Ф (z) = c1 + c2 = c.
 Если F(z) — некоторая первообразная от аналитической функции f(z), то справедлива формула
,
аналогичная формуле Ньютона – Лейбница для функции действительного переменного.
 Действительно, так как функция  является первообразной, а так как две первообразные отличаются друг от друга на постоянную величину, то
.
Считая z = z0, получим с = - F(z0) и таким образом
.
Если теперь принять z = z1, то получим окончательно
.

Формула Коши

   Теорема. Пусть в многосвязной области G задана аналитическая функция f (z), и задан составной или простой контур l, ограничивающий некоторую область W ⊂ G. Тогда для любой внутренней точки z ∈ W справедлива формула Коши
(5)
       Доказательство. Удалим из области Ω круг радиуса r с центром в точке z. В полученной области Ω* числители и знаменатель аналитичны относительно ς, причём знаменатель нигде не обращается в ноль. Следовательно, подынтегральная функция является аналитической в области Ω*. По теореме Коши для многосвязной области имеем
,
где  — окружность радиуса r, причём чёрточка сверху означает, что окружность обходится по часовой стрелке.
Учитывая свойства интеграла, получим
  (6)
На окружности lr справедливо ς - z = r·ei·φ, то есть dς = i·r·ei·φ·dφ, тогда
.  (7)
Из формул (6) и (7) следует
. (8)
Оценим (8) по модулю
Так как функция f(z) непрерывна в области Ω, то при r → 0 имеем → 0. Следовательно,
.
Зная значение аналитической функции f(z) на контуре l, можно вычислить из формулы Коши её значение в любой точке области Ω, ограниченной этим контуром. В частности, если контур — окружность радиуса R с центром в точке z, то ζ - z = R·ei φ  и формула (5) имеет вид
,
или
. (9)
Формула (9) называется формулой среднего значения: значение аналитической функции в центре круга равно среднему арифметическому её значений на окружности.

Примеры

       Вычислить интеграл от функции комплексного переменного  по данной кривой L: {|z | = 1, Imz ≥ 0}.
 Решение. Построим линию интегрирования

Перейдём к параметрическому заданию линии интегрирования: L: { x = cost, y = sint, 0 ≤ t ≤ π}. В этом случае
   Пример 2. Вычислить интеграл  по линии L: {|z | = 1, Rez ≥0}.
 Решение. Поскольку подынтегральная функция является аналитической, то интеграл не зависит от пути интегрирования, и зависит только от начальных и конечных точек. Воспользовавшись теоремой о первообразной аналитической функции, получим
 Пример 3. Вычислить интеграл , где L – окружность радиуса 2 с центром в точке 2i.
 Решение. Функция внутри контура L является аналитической и по формуле Коши будем иметь
.
 Пример 4. Вычислить интеграл , где L – замкнутый контур, обходящей точку i один раз.
 Решение. Воспользовавшись формулой , получим
.

Вопросы для самопроверки

  1. Дайте определение интеграла функции комплексного переменного.
  2. Перечислите условия существования интеграла функции комплексного переменного.
  3. По какой формуле можно вычислить интеграл функции комплексного переменного через её действительную и мнимую части.
  4. Перечислите основные свойства интеграла функции комплексного переменного.
  5. Сформулируйте интегральную теорему Коши.
  6. Для какой области справедлива интегральная теорема Коши.
  7. Сформулируйте следствие из теоремы Коши.
  8. Сформулируйте теорему об производной интеграла функции комплексного переменного по переменному верхнему пределу.
  9. Что называется первообразной аналитической функции?
  10. Как отличаются первообразные одной и той же аналитической функции?
  11. Запишите формулу Коши.
  12. Как связываются значения аналитической функции внутри контура, охватывающего односвязную область, со значением этой функции на контуре?
  13. Что называется формулой среднего значения аналитической функции?