К разделу
ЛЕКЦИЯ 5К СОДЕРЖАНИЮ РАЗДЕЛА
  1. Определение вычета функции.
  2. Вычет в бесконечно удалённой точке.
  3. Формулы вычисления вычетов особых точек различного порядка.
  4. Примеры вычисления вычетов.
  5. Теорема о вычетах.
  6. Примеры вычисления интегралов.
  7. Применение вычетов для вычисления несобственных интегралов.
  8. Примеры вычисления несобственных интегралов.
  9. Вопросы для самопроверки.

Определение вычета функции

 Вычетом функции f(z) называется число
,
где l — достаточно малая окружность | z – a| = ρ, такая, что в круге |z – a| ≤ ρ нет других особых точек, кроме точки z = a. В этом случае величина вычета не зависит от величины радиуса ρ.
 Точка z = a называется изолированной особой точкой функции f(z), если в области 0 < | z – a| < ρ функция f( z) является аналитической, а в точке z = a аналитичность нарушается.
 Например, функция  имеет в точке z = 0 изолированную особую точку, так как в точке z = 0 функция  не определена, но в любой окрестности этой точки эта функция является аналитической. Для функции
точка z = 0 не является изолированной особой точкой, так как в точках  функция не является аналитической, а точка z = 0 является предельной для последовательности {zk}.
 Вычет функции f(z) в точке z = a обозначается следующим образом Res f (z) |z = a.

Вычет в бесконечно удалённой точке

 Вычет в бесконечно удалённой точке z = ∞ определяется формулой
,
где l — окружность достаточно большого радиуса, обход которой производится по часовой стрелке (бесконечно удалённая точка должна быть слева).
 Например:
.

Формулы вычисления вычетов особых точек различного порядка

 Пусть функция f (x) имеет в точке z = a полюс k - го порядка. Разложение функции в ряд Лорана имеет вид
.
Умножая обе части последнего равенства на ( z - a )k и продифференцировав обе части полученного выражения k - 1 раз, получим
Перейдя к пределу в обеих частях равенства при z –> a, получим для нахождения вычета функции f(z) в полюсе z = a к – го порядка формулу
.
 Для полюса первого порядка (k = 1)
.
 Если функция f(z) представляет собой отношение двух функций Р( z) и Q(z), аналитических в окрестности точки z = a:
,
причём Р(а) ≠ 0, а функция Q(z) имеет в точке z = a нуль первого порядка, то
.

Примеры вычисления вычетов

 Пример 1. Определить вычет функции .
 Решение. Эта функция имеет полюсы первого порядка в точках . Найдём вычет этой функции в точке :
.
 Пример 2. Определить вычет функции
 в особой точке z0 = i.
Решение. В этой точке функция имеет полюс первого порядка, поэтому
.
 Пример 3. Определить вычет функции
в особой точке z = 1.
 Решение. В этой точке указанная функция имеет полюс n – го порядка, поэтому
.

Теорема о вычетах

   Теорема 1. Пусть l – спрямляемый замкнутый контур и G — область, ограниченная этим контуром. Пусть далее функция f(z) является аналитической функцией в области G за исключением конечного числа изолированных особых точек а1, а2, … , аn. Тогда
(1)
 Доказательство. Окружим каждую особую точку z = ak окружностью lk, имеющей радиус ρk столь малый, что все эти окружности не пересекаются и лежат в области G. Рассмотрим область G1, полученную из области G с помощью удаления кругов lk. В области G1 функция f(z) будет аналитична. Согласно интегральной теореме Коши для многосвязной области имеем
.
Здесь окружности lk проходятся по часовой стрелке. Изменив направление обхода, и пользуясь определением вычета, получим
.
   Теорема 2. Пусть функция f(z) имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число изолированных особых точек а1, а2, …, аn. Тогда сумма вычетов функции f(z) относительно этих точек, а также относительно бесконечно удалённой точки равна нулю.
 Доказательство. Рассмотрим окружность l: | z | = R с центром в начале координат, имеющую настолько большой радиус R, чтобы на самой окружности и вне её не было особых точек функции f( z), за исключением может быть бесконечно удалённой точки z = ∞. Тогда
.
Но
,
.
Тогда
.

Примеры вычисления интегралов

             Вычислить интеграл .
 Решение. Внутри контура находится только одна особая точка z = 0. Найдём вычет подынтегральной функции
при z = 0.
.
Используя формулу (1), получим
.

Применение вычетов для вычисления несобственных интегралов

   Лемма 1.Если функция f(z) непрерывна в окрестности бесконечно – удалённой точки z = ∞ и z·f(z) → 0 равномерно относительно arg z при z → ∞, то интеграл
по любой дуге CR окружности | z | = R стремится к нулю при R → ∞.
 Доказательство. Введём обозначение . Равномерность стремления к нулю функции z·f(z) относительно аргумента означает, что М → 0 при R → ∞. Оценим по модулю
,
здесь s — длина дуги CR. Так как , то
.
С помощью леммы можно вычислять несобственные интегралы вида
(2)
подынтегральная функция f(х) которых удовлетворяет условию
и имеет конечное число изолированных особых точек.
 Для вычисления интеграла (2) перейдём от действительного переменного х к комплексному переменному z и рассмотрим интеграл
,
где l — замкнутый контур, состоящий из полуокружности С R радиуса R, лежащей в верхней полуплоскости, и отрезка [- R, + R] действительной оси.
Радиус R окружности выбирается столь большим, чтобы все особые точки функции f(z) лежащие в верхней полуплоскости, попали внутрь области, ограниченной контуром l.
 Согласно свойству интеграла от функции комплексного переменного имеем
.
По теореме о вычетах имеем
,
где а1, а2, …, аn — особые точки функции f(х), лежащие в верхней полуплоскости. Таким образом
(3)
Перейдём в (3) к пределу при R → ∞. Из доказанной леммы следует, что
.
и равенство (3) примет вид
.
Аналогично доказывается равенство
, (4)
если особые точки ak' функции f(z) расположены в нижней полуплоскости.

Примеры вычисления несобственных интегралов

 Вычислить интеграл
.
 Решение. Подынтегральная функция
f (x ) =
имеет в верхней полуплоскости одну особую точку z = i —полюс n – го порядка. Согласно формуле (4), имеем

Вопросы для самопроверки

  1. Дайте определение изолированной особой точки функции.
  2. Дайте определение вычета функции комплексного переменного в изолированной особой точке.
  3. Как обозначается вычет функции комплексного переменного в изолированной особой точке?
  4. Как определяется вычет функции комплексного переменного в бесконечной особой точке?
  5. По какой формуле вычисляется вычет первого порядка функции комплексного переменного в изолированной особой точке?
  6. По какой формуле вычисляется вычет n – го порядка функции комплексного переменного в изолированной особой точке?
  7. Как вычислить вычет первого порядка в случае когда функция комплексного переменного является отношением двух других функций комплексного переменного?
  8. Сформулируйте первую и вторую теоремы о вычетах.
  9. Сформулируйте лемму, которая лежит в основе доказательства метода вычисления несобственных интегралов.