Восстановить аналитическую в окрестности точки z0 = 0 функцию f(z) по известной действительной части
u(x, y) = e-y·cos x + x и значению f(0) = 0.
Решение. Если функция f(z) аналитическая, то действительная и мнимая части этой функции удовлетворяют условиям Коши – Римана
.
Учитывая выражение действительной части функции, условие Коши – Римана примет вид
Интегрируя первое уравнение этой системы по у, получим
v = e- y·sin x + y + C (x),
где С(x) — произвольная функция аргумента x. Подставив найденное выражение во второе уравнение системы, получим
e- y·cos x + C ' (x) = e- y·cos x,
или C ' (x) = 0.
Таким образом C (x) = C = const. Учитывая вышесказанное, получим выражение для искомой функции
u (x, y) = e-y·cos x + x:
f (z) = e-y·cos x + x + i·(e- y·sin x + y + C).
Учитывая значение функции f (0) = 0, получим
1 + i·C = 0,
откуда С = i.
Окончательно получим
f (z) = e-y·cos x + x − 1 + i·(e- y·sin x + y).
Перестроим выражение функции к виду f (z) = e-y·( cos x + i·sin x) + ( x + i·y) − 1. Учитывая теперь, что z = x + i·y и формулу Эйлера показательной формы записи комплексного числа, получим окончательно f (z) = ei·z + z − 1.
Ответ: f (z) = ei·z + z − 1.