СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

  1. Гамма функция Г(t)
  2. Нормальное распределение
  3. Распределение Стьюдента
  4. Распределение хи – квадрат
  5. Распределение Фишера
  6. Экспоненциальное распределение
  7. Распределение Вейбулла
  8. Гамма распределение
  9. Бета распределение
  10. Распределение Каучи
  11. Однородное распределение

Дополнение 2

Гамма функция Г(t)

   Гамма функция Г(t), которая фигурирует в t – определении Стьюдента (и гамма распределении), определяется функцией
,
Гамма функция Г(t) определена для положительных действительных чисел t.
   Гамма функция имеет свойства
  1. Г(1) = 1 и Г(t + 1) = t·Г(t) и для положительного целого k имеет место хорошо известное соотношение для факториала Г(k) = (k – 1) !. Например Г(5) = 1·2·3·4 = 4 ! = 24.
    График гамма функции для положительного аргумента имеет вид (см. рис.)
  2. Биномиальные коэффициенты через гамма функцию запишутся в виде
    .

Нормальное распределение

   Интегральная функция нормального распределения определяется интегралом вида
 (1)
определённым для всех действительных чисел μ и положительных действительных σ Функция плотности нормального распределения имеет вид
Существует обратная функция для интегральной функции нормального распределения (NormalInv). Параметры μ и σ являются соответственно средним (mean) и средним квадратическим отклонением (standard deviation). Если μ = 0 и σ = 1, то по умолчанию интегральная функция нормального распределения называется стандартной
.
Ниже приводятся некоторые значения этих трёх функций NormalDist(2,44) = 0,99266; NormalDist(2,44;0,1) = 0,99266; NormalDist(2.44;1,2) = 0.76424; NormalInv(0,99266;0,1) = 2,4402; NormalInv(0,76424;1,2) = 2,44; NormalDen(2,44;1,2) = 0,15393. Графики функций NormalDist(x;μ,σ), NormalDen(x;μ,σ), NormalInv(x;μ,σ) (1), (2) для параметров (μ,σ)=(0,1),(0,5),(0,0.5),(1,1) представлены на рис. 2, 3, 4

Распределение Стьюдента

   Интегральная функция t – распределения Стьюдента определяется соотношением
(3)
функция плотности t – распределения Стьюдента имеет вид
,(4)
параметр ν называется степенью свободы и является натуральным числом. Дисперсия t – распределения Стьюдента равна  при условии ν > 2. Функция TInv( p; v) определяет величину х, для которой интегральная функция t – распределения Стьюдента равна р. Например,

TDist(63,66;1) = 0,995; TInv(0,995;1) = 63,66;

TDist(- 0,97847;3) = 0,2; TInv(0,2;3) = - 0,97847;

TDen(0,2;3) = 0,35794.

Графики функций (3), (4) и обратной функции TInv(p;ν) для ν = 1 и ν = 15 представлены на рис. 5, 6, 7

Заметим, что функция плотности t – распределения Стьюдента похожа схематично на график стандартной нормальной плотности, сравните рис. 5 и рис. 3. Следует отметить, что
.
Для значений ν > 30 нормальное распределение полностью аппроксимирует t – распределение Стьюдента.
   Пример. Используя t – распределение Стьюдента со степенью свободы ν = 5, определить границы интервала, для которых случайная величина Х попадает в интервал (- с; + с) с вероятностью 0,9.
   Решение. Используя теорему сложения и свойства непрерывно распределённой случайной величины, можно записать
Р(-с < Х < c) = P(X ≤с) - P(X ≤ - с) = Tdist( c; 5) - Tdist(- c; 5).
Так что, необходимо решить уравнение
Tdist(c; 5) - Tdist(- c; 5) = 0.9(5)
относительно с. Так как функция t – распределения Стьюдента удовлетворяет условию
Tdist(c; 5) + Tdist(- c; 5) = 1,(6)
то складывая соотношения (5) и (6), получим 2· Tdist(c; 5) = 1 + 0.9, откуда имеем
.
   Задача решается использованием обратной функции t - распределения
.

Распределение хи - квадрат

   Интегральная функция распределения хи – квадрат определяется соотношением
(7)
плотность распределения хи – квадрат определяется соотношением
(8)
Параметр μ > 0 является средним распределения или степенью свободы. Графики функций (7), (8) и обратной функции ChiSquareInv(x;μ) для μ = 1, 5, 10, 15 и – 5 ≤ х ≤ 5 имеют вид рис. 8, 9, 10
Функция ChiSquareInv(t; μ) определяет значение х, для которого ChiSquareDist(x; μ) = t. Эта зависимость иллюстрируется следующими примерами

ChiSquareDist(1,6103;5) = 9,9999·10-2, ChiSquareInv(0,1;5) = 1,6103;

ChiSquareDist(2,366;3) = 0,5; ChiSquareInv(0,5;3) = 2,366;

ChiSquareDen(0,5;3) = 0,21970.

Распределение Фишера

   Интегральная функция F – распределения определяется соотношением
(9)
плотность F – распределения определяется соотношением
(10)
Переменная х может быть любым положительным действительным числом, n и m — любые натуральные числа. Обратная функция FInv( p; n, m) определяет величину х, для которого интегральная функция F – распределения FDist( x; n, m) принимает значение р. Связь между этими двумя функциями иллюстрируется примером

FDist(0.1;3,5) = 4.3419·10-2; FInv(0.043419;3,5) = 0.1;

FDist(3.7797;2,5) = 0.9; FInv(0.9;2,5) = 3.7797;

FDen(3.7797;2,5) = 3. 9811·10-2. Графики функций (9), (10) и обратной функции FInv(x; n, m) для (n, m) = (1,1),(2,5),(3,15) и –5 ≤ х ≤ 5 показаны на рисунках 11, 12, 13

Экспоненциальное распределение

   Интегральная функция экспоненциального распределения с параметром μ определяется соотношением
(11)
функция плотности экспоненциального распределения имеет вид
(12)
В этом распределении параметр μ является средним. Интегральная функция экспоненциального распределения имеет обратную функцию
,
которая принимает значение х, для которого интегральная функция экспоненциального распределения принимает значение а. Это можно проиллюстрировать примерами

;

,

.    На рисунках 14, 15, 16 указаны графики функций (11), (12) и обратной функции экспоненциального распределения для параметром μ = 1, 3, 5 и 0 ≤ х ≤ 25

Распределение Вейбулла

   Интегральная функция распределения Вейбулла определяется соотношением
(13)
функция плотности распределения Вейбулла имеет вид
(14)
Здесь b > 0 скалярный параметр, а – параметр, который определяет форму. Обратная функция Интегральная функция распределения Вейбулла существует, имеет вид
и принимает значение х, для которого интегральная функция распределения Вейбулла имеет значение a. Это можно проиллюстрировать числовыми примерами

WeibullDist(0.51431;0.5,0.3) = 0.73; WeibullInv(0.73;0.5,0.3) = 0.51431;

WeibullDen(0.51431;0.5,0.3) = 0.34368.
   Графики функций (13), (14) и обратной функции интегральной функции распределения Вейбулла представлены на рис. 17, 18, 19

Гамма распределение

   Интегральная функция гамма распределения при х > 0 определяется соотношением
  (15)
где
является Гамма функцией. Скалярный параметр а определяет форму, параметр b является скалярным. Средним Гамма распределения является a·b, дисперсия этого распределения равна a·b 2.
   Функция плотности Гамма распределения имеет вид
  (16)
Интегральная функция гамма распределения имеет обратную функцию GammaInv(x;a,b). Ниже представлено несколько числовых примеров

GammaDist(0.51431;0.5,0.3)= 0.93593.

GammaInv(0.93593;0.5,0.3)= 0.51431.

GammaDen(0.51431;0.5,0.3)= 0.25865.

На рис. 20, 21, 22 представлены функции (15), (16) и их графики.

Бета распределение

   Функция распределения определена на интервале 0 ≤ x ≤ 1 и имеет вид
(17)
где  есть Бета функция с параметрами ν и w.
   Плотностью Бета распределения является функция
(18)
Параметры ν и w являются действительными положительными числами и 0 ≤ u ≤ 1. Средним Бета распределения является . Интегральная функция Бета распределения имеет обратную функцию BetaInv(x;b,c ). Ниже приведено несколько числовых примеров

BetaDist(0.5;2,3) = 0.6875; BetaInv(0.6875;2,3)= 0.5;

BetaDen(0.5;2,3)=1.5.
   На рис. 23, 24, 25 представлены функции (19), (20) и график обратной функции BetaInv(x;b;c) для (ν,w)=(2,3),(5,1),(3,8), и 0 ≤ x ≤ 1.

Распределение Каучи

   Интегральная функция распределения Каучи для действительных параметров α и действительных положительных β определяется соотношением
(19)
Плотность распределения Каучи имеет вид
(20)
Средним этого распределения является параметр α, этот же параметр определяет максимум плотности. Интегральная функция распределения Каучи имеет обратную функцию CauchyInv(x; α, β).
На рис. 25, 26, 27 изображены графики функций (19), (20) и обратной функции CauchyInv(x; α, β) для параметров (α, β) = (- 3,1), (0,1.5), (3,1), и – 5 ≤ x ≤ 5.

Однородное распределение

   Функция плотности однородного распределения на интервале [a, b], где a < b, определяется соотношениями
Интегральная функция однородного распределения на интервале [a, b], где a < b, определяется соотношениями

Выбор случайной величины из интервала [a, b] подчиняется этому закону распределения. На рис. 27, 28 указаны графики функций (21) и (22) для (a, b) = (0,1), (1.5,5), (3,15) и – 5 ≤ x ≤ 20.