где n — натуральный параметр (пробный размер, или число повторных испытаний), р — вероятность появления события в каждом испытании, q = 1- p, биномиальные коэффициенты

. Функция плотности биномиального распределения определяется функцией

(2)

при тех же условиях относительно p, x, n. Средней этого распределения является n·p, дисперсия этого распределения равна n·p·q.
Пример 1. Найти вероятность того, что при бросании монеты 100 раз герб выпадет не более 54 раз.
Решение.

. На рис. 1 и рис. 2 точками показаны соответствующие функции биномиального распределения, а линией функции нормального распределения

Гипергеометрическое распределение

Пусть имеется М элементов, среди которых K отмеченных, и M – K неотмеченных. Производится отбор n элементов без возвращения. Вероятность, с которой в этой выборке из n элементов 0 ≤ k ≤ n отмеченных, определяется соотношением (плотность гипергеометрического распределения вероятностей)

(3)

Пример 2. В группе из 20 человек имеется 8 человек вирусоносителей. Из этой группы выбирается 12 человек. Определить вероятность, что в этой группе будет 5 человек вирусоносителей.
Решение. HypergeomDen(5; 20, 8, 12)= 0.35208.
Интегральная функция гипергеометрического распределения для натурального параметра 0 ≤ х ≤ n определяется соотношением

(4)

Пример 3. В группе из 20 человек имеется 8 человек вирусоносителей. Из этой группы выбирается 12 человек. Определить вероятность, что в этой группе будет не более 5 человек вирусоносителей.
Решение P (k ≤ 5) = HipergeomDist (5; 20, 5, 12) = 0.74039. Гипергеометрическое распределение хорошо аппроксимируется когда примерный размер n является относительно небольшим. На рисунках 3 и 4 изображены функции (3) и (4) в виде полигонов

Если р постоянна и объём N совокупности достаточно большой, то гипергеометрическое распределение аппроксимируется биномиальным распределением. Среднее значение гипергеометрического распределения не зависит от N и совпадает со средним n·p соответствующего биномиального распределения. Дисперсия гипергеометрического распределения равна

Распределение Пуассона

Функция плотности распределения Пуассона определяется соотношением для неотрицательного целого числа k и μ > 0, μ = n·p

. Интегральная функция распределения Пуассона определяется соотношением для неотрицательного целого числа x

. Пример 4. Имеется группа из 1000 человек, из которых 30 человека являются инфицированными. Выбираются 100 человек. Найти вероятность того, что среди этих 100 человек будет 2 инфицированных.
Решение. PoissonDen(2;3) = 0.22404.
Пример 5. Имеется группа из 1000 человек, из которых 30 человека являются инфицированными. Выбираются 100 человек. Найти вероятность того, что среди этих 100 человек будет не менее 5 инфицированных.
Решение. PoissonDist(5;3) = 0.91608.
Распределение Пуассона очень хорошо апроксимирует биномиальное распределение. PoissonDist(k;μ) ≈ BinomialDist(k;μ,μ·(1 - p )).

Дополнение 1

Биномиальное распределение

Гипергеометрическое распределение

Распределение Пуассона