СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА

  1. Основные определения. Алгебра событий.
  2. Классическое определение вероятности.
  3. Статистическое определение вероятности.
  4. Примеры.
  5. Вопросы для самопроверки.

Основные определения и понятия. Алгебра событий

   Теория вероятностей есть раздел математики, в котором изучаются случайные события, обладающие статистической устойчивостью, выявляются закономерности при массовом их повторении.
   Чтобы разъяснить это определение необходимо сказать, что такое случайное событие и что таоке частость случайного события. Статистическая устойчивость – это свойство случайного события, для которого частость W имеет некоторый предел при бесконечном увеличении числа опытов. Если событие обладает этим свойством, то оно обладает статистической устойчивостью. Если частость случайного явления в сериях из большого числа опытов почти постоянна, т. е. колеблется незначительно около некоторой постоянной величины, то говорят, что это явление обладает статистической устойчивостью.
   Частостью события в некоторой серии из N опытов называется величина
,
где N – число проведённых опытов, M – сколько раз появилось рассматриваемое событие в этой серии из N опытов.
   События разделяются на детерминированные и случайные. Детерминированные события полностью и однозначно определяются условиями проведения опыта. Случайные события не обладают этим свойством. Случайность является одним из фундаментальных понятий законов природы. Субъективная случайность связана с неполнотой знаний, и процесс систематического пополнения знаний снижает уровень субъективной случайности. В этом случае случайность или закономерность зависят от полноты знаний о явлении.
   Объективная случайность зависит от того, что невозможно создание полной идентичности полного комплекса условий при повторении опыта. На эти условия непрерывно влияет бесконечное множество воздействий, которое непрерывно меняется с каждым мгновением своего существования. Объективная случайность лежит в основе многих явлений природы, в которых, несмотря на изменение отдельных элементов от случая к случаю, общая картина обнаруживает определённую устойчивость.
   Случайность события не означает его беспричинность. Явления в природе связаны, зависят друг от друга.Любое явление может быть понято и обосновано, если оно рассмотрено в неразрывной связи с окружающими явлениями. Однако каждое явление количественно проявляется по - разному в различные моменты времени, и точно указать действие каждого явления в определённый момент времени и суммарное действие каждого из них бывает невозможно. В связи с этим результат исследуемого явления бывает невозможно предсказать заранее.
   В основе теории вероятностей лежит понятие события. События обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С, и т. д.
    Определение 1. Событие называется случайным, если в условиях данного опыта оно может произойти или не произойти.
    Определение 2 . Два события называются несовместимыми, если наступление одного из них исключает возможность наступления другого. В противном случае события называются совместимыми.
    Определение 3. Событие называется достоверным, если оно произойдёт в любом случае в условиях данного опыта или явления. Достоверное событие будем обозначать буквой Е.
    Определение 4. Событие называется невозможным, если оно не может произойти при выполнении определенных условий. Невозможное событие будем обозначать буквой U.
    Определение 5. Два события, одно из которых обязательно должно произойти, но наступление одного исключает возможность наступления другого, называются противоположными.
   Определение 6. В некотором испытании (явлении) события А, В, …, М называются единственно возможными, если по крайней мере одно из них обязательно произойдет как исход явления (испытания).
    Определение 7. События А, В, …, М образуют полную систему, если они являются единственно возможными, равновозможными и несовместимыми исходами данного опыта (явления).
    Определение 8. Суммой (A + B) событий называется новое событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из них.
    Определение 9. Произведением (A·B) событий называется новое событие, состоящее в том, что они произойдут одновременно.
   Определение 10. Разностью (А - В) двух случайных событий называют такое случайное событие, которое означает «А, но не В».
    Определение 11. Событие А благоприятствует событию В (A B), если из того, что произошло событие А, следует, что произошло событие В.
    Определение 12. События А и В называются эквивалентными, если они благоприятствуют появлению друг друга.

Классическое определение вероятности

         Пусть множество из n исходов опыта образует полную группу. Если m из них благоприятствуют событию А, то вероятностью события А называется число
.                        (*)

Статистическое определение вероятности.

         На рисунке представлены эти частоты, рассмотрены последовательно серии с числом бросаний 100, 200, ..., 2500. Рисунок демонстрирует весьма важный факт: отклонение частоты появления события от его вероятности уменьшается по мере увеличения числа испытаний. Иными словами, при увеличении числа испытаний частота появления случайного события приближается к его вероятности. Предельное значение частости события при бесконечном увеличении числа опытов называется статистической вероятностью.
   Поскольку при увеличении числа испытаний частота появления события приближается к его вероятности, возникает вопрос: нельзя ли определить вероятность события как предел отношения числа его появлений к числу испытаний, вычисленный при неограниченном возрастании числа ? Пусть N — число испытаний, а M(N) число появлений события А в этих испытаниях. Спрашивается, нельзя ли определить вероятность Р(А) события А следующим образом:
?                        (**)
         Немецкий математик первой половины XX века Р. Мизес полагал, что выражение (**) можно рассматривать как определение вероятности случайного события, он называл его частотным определением вероятности. Мизес указывал, что классическое определение вероятности (*) « работает » лишь тогда, когда имеется конечное число равновозможных исходов. Таковы, например, ситуации, связанные с подбрасыванием монеты или игрального кубика.
   На практике мы часто встречаемся с ситуациями, где нет симметрии, предопределяющей равновозможность исходов. В таких случаях классическим определением вероятности пользоваться нельзя. Вот здесь, как утверждал Мизес, и может пригодиться частотное определение, поскольку оно не нуждается в конечном числе равновозможных исходов и вообще не предполагает вычисления вероятности.
   При частотном подходе вероятность не вычисляется, а определяется из опыта. Можно ли, однако, на практике определить вероятность какого-либо случайного события, используя соотношение (**)? Это соотношение предполагает, что выполняется бесконечно большое число однотипных испытаний. На практике пришлось бы ограничиться конечным числом испытаний. При этом совершенно неясно, каким именно оно должно быть. Можно ли ограничиться сотней испытаний? Или надо выполнить тысячу, миллион, сто миллионов, испытаний? И с какой точностью при этом определяется искомая вероятность? На все эти вопросы ответа не существует. К тому же на практике невозможно обеспечить одинаковые условия выполнения очень большого числа испытаний. Уже не говоря о том, что сам характер испытаний может сделать невозможным их многократное повторение. Таким образом, соотношение (**) оказывается практически бесполезным. Более того, можно показать, что фигурирующий в (**) предел, строго говоря, не существует. Это означает, что предложенное Мизесом соотношение (**) не только практически бесполезно, но и не имеет смысла. Следовательно, оно не может рассматриваться в качестве определения вероятности. Иными словами, частотное определение вероятности оказывается несостоятельным. Ошибка Мизеса заключалась в том, что исходя из правильной посылки (при увеличении числа испытаний частота появления случайного события приближается к его вероятности), он сделал необоснованный вывод, будто вероятность события есть предел частоты его появления при неограниченном возрастании числа испытаний.

Примеры.

    Пример 1. Бросают игральную кость и смотрят, сколько выпало очков. При этом могут произойти следующие события: А1 = {выпало 1 очко}, А2 = {выпало 2 очка}, А3 = {выпало 3 очка}, А4 = {выпало 4 очка}, А5 = {выпало 5 очков}, А6 = {выпало 6 очков}. В этой игре можно рассматривать и другие события, например, Впр = {выпало простое число очков}, Взк= {число выпавших очков делится на три}, Вч={выпавших очков четно}, Вн= {число выпавших очков нечетно}.
   Пример 2. Опыт – два выстрела по мишени. События: А = {ни одного попадания}, В = {одно попадание}, С = {два попадания}, Д = {нет промаха}, Н = {есть хотя бы одно попадание}. Указать совместные и несовместные события, а также, какое событие какому благоприятствует.
   Ответ. Несовместимы: А и В, А и С, А и Д, А и Н, В и С; совместны: В и Н, С и Д, С и Н, Д и Н; B H, С H, С Д, Д С, Д Н; из того, что С Д и Д С следует, что С = Д.
Пример3. Проиллюстрируем статистическое определение вероятности на примере. Ниже приведена сокращённая таблица числа лиц, доживающих до определённого возраста из 100 000 родившихся по данной территории:
Возраст в годахЧисло доживающихВозраст в годахЧисло доживающих
 0100 0005583 551
596 2366082 661
1095 8526579 179
1595 5657064 332
2095 0987552 892
2594 3548038 998
3093 4058525 003
3592 2329012 739
4090 809955 450
4589 1091001 873
5086 895  
Найти вероятность дожить новорождённому до 30 лет.
   Р е ш е н и е. По таблице находит, что из 100 000 новорождённых до 30 лет доживут 93 405. Поэтому искомая вероятность равна
.

Вопросы для самопроверки

  1. Что такое теория вероятностей?
  2. Какое событие называется случайным?
  3. Что называется частостью события в некоторой серии опытов?
  4. Что такое статистическая устойчивость?
  5. Как понимать сумму (произведение, разность) случайных событий? Приведите примеры.
  6. Какое событие называется благоприятствующим другому событию? Приведите примеры.
  7. Какие события называются эквивалентными?
  8. Каким условиям должны удовлетворять события, образующие полную группу?
  9. Какое событие называется невозможным? Приведите пример.
  10. Какое событие называется достоверным? Приведите пример.
  11. Какие события называются противоположными? Приведите пример.
  12. Как сформулировать классическое определение вероятности?
  13. Приведите пример опыта (испытания), в результате которого может появиться или не появиться какое-то случайное событие.
  14. По мишени производится три выстрела. Рассматриваются события = {попадание при k - ом выстреле}, k = 1, 2, 3.….
    Пользуясь действиями над Ak и Ak, записать события:
    • А = {все три попадания};
    • В = {все три промаха};
    • С = {хотя бы одно попадание};
    • D = {хотя бы один промах};
    • M = {не меньше двух попаданий};
    • F = {не более одного попадания};
    • G = {попадание в мишень не раньше третьего выстрела}.
  15. Опыт – бросание двух монет. Ввести полную группу элементарных событий и через элементы полной группы записать события: А = {хотя бы на одной из монет выпала цифра}, В = {хотя бы на одной из монет выпал герб}, С = {на обеих монетах выпала цифра}, Д = {на обеих монетах выпал герб}.