СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА

ЛЕКЦИЯ 11

  1. Математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой случайной величины.
  2. Функция распределения вероятностей нормально распределённой случайной величины.
  3. Вычисление вероятности заданного отклонения.
  4. Правило трех сигм.
  5. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределённой по закону Пуассона.
  6. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределённой по показательному закону.
  7. Функция распределения случайной величины, распределённой по показательному закону.
  8. Вопросы для самопроверки.

Математическое ожидание и дисперсия нормально распределённой случайной величины

   В выражениях плотности вероятности и функции распределения случайной величины, распределённой по нормальному закону, параметры а и s являются соответственно её математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением.
   Действительно,
где было принято во внимание
По определению дисперсии имеем:
.
Используя ту же замену переменных, найдём окончательно

Функция распределения вероятностей нормально распределённой случайной величины

   Используя определение функции распределения, получим
где
и
дифференциальная и интегральная функции Лапласа. В соответствие с этим получим формулу для нахождения вероятности попадания нормально распределённой величины в заданный интервал:
.                         (*)

Вычисление вероятности заданного отклонения

   Часто требуется вычислить вероятность того, что отклонение нормально распределенной случайной величины X по абсолютной величине меньше заданного положительного числа δ,т. е. требуется найти вероятность осуществления неравенства | X- a| < δ. Заменим это неравенство равносильным ему двойным неравенством - δ < X - a < δ, или a - δ < X < a + δ. Пользуясь формулой (*), получим
Приняв во внимание равенство
(функция Лапласа - нечетная), окончательно имеем
                        (**)
В частности, при a = 0
На рисунке наглядно показано, что если две случайные величины нормально распределены и a = 0, то вероятность принять значение, принадлежащее интервалу (- δ, δ), больше у той величины, которое имеет меньшее значение σ. Этот факт полностью соответствует вероятностному смыслу параметра σ (σ есть среднее квадратическое отклонение; оно характеризует рассеяние случайной величины вокруг ее математического ожидания).
   Замечание. Очевидно, события, состоящие в осуществлении неравенств | X- a| < δ и | X- a| ≥ δ – противоположные. Поэтому, если вероятность осуществления неравенства | X- a| < δ равна p, то вероятность неравенства | X- a| ≥ δ равна 1- p.

Правило трех сигм

   В формуле (**) положим δ = σ·t. В итоге получим
P(| X - a| < σ·t) = 2· Ф(t).
Если t = 3 и, следовательно, δ = 3·σ, то
P (| X- a| < 3σ ) = 2Ф (3) =2·0, 49865=0, 9973,
т. е. вероятность того, что отклонение по абсолютной величине будет меньше утроенного среднего квадратического отклонения, равна 0,9973. Другими словами, вероятность того, что абсолютная величина отклонения превысит утроенное среднее квадратическое отклонение, очень мала, а именно равна 0,0027. Это означает, что лишь 0,27 % случаев так может произойти. Такие события исходя из принципа невозможности маловероятных событий можно считать практически невозможными. В этом и состоит сущность правила трех сигм: если случайная величина распределена нормально, то абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения.
   На практике правило трех сигм применяют так: если распределение изучаемой случайной величины неизвестно, но условие, указанное в приведенном правиле, выполняется, то есть основание предполагать, что изучаемая величина распределена нормально.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределённой по закону Пуассона

   Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределённой по закону Пуассона, совпадают и равны параметру l, который определяет этот закон.
   Действительно, случайная величина Y, распределённая по закону Пуассона, может принимать только целые неотрицательные значения m = 0, 1, 2, … с вероятностями, определяемыми по формуле
.
По определению математического ожидания дискретной случайной величины имеем
   Дисперсию случайной величины найдём по формуле D(Y) = M (Y2) – M2(Y). Для этого найдём математическое ожидание квадрата случайной величины:
   Для вычисления суммы ряда, стоящего в скобках, воспользуемся разложением
.
умножая обе части этого равенства на l, и дифференцируя по l, получим:
.
Умножив обе части этого равенства ещё раз на l, получим:
Учитывая это равенство, имеем M(Y 2) = . Окончательно получим

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределённой по показательному закону

   Случайная величина Х называется распределённой по показательному закону, если её плотность вероятности определяется соотношением
График плотности показательно распределённой случайной величины для λ = 2 имее вид.
Вычислим математическое ожидание и дисперсию этой случайной величины

Функция распределения случайной величины, распределённой по показательному закону

   F(x) = 0 при x < 0, а при x ≥ 0 имеем

Вопросы для самопроверки

  1. Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределённой по нормальному закону?
  2. Как эти параметры определяют расположение графика плотности распределения случайной величины, распределённой по нормальному закону?
  3. Запишите функцию распределения вероятностей нормально распределённой случайной величины.
  4. Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределённой по закону Пуассона?
  5. Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределённой по показательному закону?
  6. Запишите функцию распределения вероятностей случайной величины, распределённой по показательному закону.
  7. Чему равны: Р( | Х - а | < s), Р(| Х - а | < 2·s), Р(| Х - а |< 3·s) для нормально распределенной случайной величины?