СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА

  1. Повторная собственно-случайная выборка для определения доли
  2. Определение выборочной доли
  3. Определение несмещённой оценки
  4. Собственно случайная выборка для определения доли
  5. Дисперсия выборочной доли бесповторной собственно-случайной выборки
  6. Замечание по применению неравенства Чебышева
  7. Вопросы для самопроверки

Повторная собственно-случайная выборка объёма для определения доли

 Пусть генеральная совокупность содержит N членов, из которых только М элементов обладают некоторым признаком А. Генеральной долей членов с признаком А называется отношение количества объектов с признаком А к объёму генеральной совокупности:
.
Если из генеральной совокупности для оценки неизвестной генеральной доли образуется повторная выборка объёма n, то результат отбора членов в выборку не влияет на результаты последующих отборов. Следовательно, случайные величины Z 1, Z 2, … , Z n, выражающие наличие или отсутствие у элемента признака А при отборе соответственно первого, второго, … ,n - го членов выборочной совокупности, являются независимыми и одинаково распределёнными.
Zi01
P
 Математическое ожидание и дисперсия случайных величин Z 1, Z 2, … , Z n, выражающих налич ие у обследованных элементов необходимого признака в повторной собственно-случайной выборке, равны M( Zi) = p, D(Zi) = p·q.

Определение несмещённой оценки

 Определение. Случайная величина Х называется несмещённой оценкой постоянной величины а, если математическое ожидание случайной величины Х равно а, т. е. М(Х) = а.
 Выборочная доля необходимого признака в повторной собственно-случайной выборке является несмещённой оценкой генеральной доли.

Определение выборочной доли необходимого признака в повторной собственно-случайной выборке

 Выборочной долей Z называется средняя арифметическая случайных величин Z 1, Z 2, … , Z n
.
В выборке объёма n выборочная доля является частостью события, состоящего в том, что отбираемый член обладает признаком А.
 Пусть из генеральной совокупности с заданным распределением признеака образуется повторная выборка объёма m. Через X 1, X 2, … , X m обозначим случайные величины, характерузующие значение того или иного признака при одборе элементов. Закон распределения вероятностей этих случайных величин обинаков
Xi x1 x2 … xn
pi N1/N N2/N … Nn/N
Математическое ожидание этих случайных величин
равно генеральной средней.
 Дисперсия этих случайных величин
равна генеральной дисперсии.
 Выборочной средней Х повторной выборки назовём среднее арифметическое случайных величин
.
 Найдём математическое ожидание выборочной следней
 Выборочная средняя является несмещённой оценкой генеральной средней для повторной собственно-случайной выборки.
 Выборочной дисперсией назовём величину
.
 Найдём математическое ожидание выборочной дисперсии
Это соотношение можно записать в виде
.
Выборочная дисперсия является смещённой оценкой генеральной дисперсии.
 Если ввести обозначение исправленной дисперсии
,
то имеет место соотношение
,
и это означает, что исправленная выборочная дисперсия является несмещённой оценкой генеральной дисперсии.
 Следует заметить, что эти выводы и соотношения были получены для собственно случайной повторной выборки.

Отличие бесповторной собственно-случайной выборки объёма n от повторной

 Через U 1, U 2, … , U n обозначим случайные величины, которые выражают наличие или отсутствие признака А при отборе первого, второго, …, n -го членов выборочной совокупности.
 Случайные величины Ui ( i = 1, 2, …, n ) могут принимать лишь два значения: 1 и 0 – если i – й член бесповторной выборки соответственно обладает или не обладает признаком А. U 1, U 2, … , U n – одинаково распределены. Закон распределения случайной величины U1 такой же, как и случайной величины Z1. Случайная величина U2 имеет такой же закон распределения, так как
Математическое ожидание и дисперсия, как и для повторной выборки, равна M( Ui ) = p, D( Ui ) = p·q. Отличие бесповторной выборки от повторной состоит в том, что случайные величины U 1, U 2, … , U n являются зависимыми. Однако они имеют одинаковое распределение.

Собственно-случайная бесповторная выборка для определения доли

 Выборочная доля
бесповторной выборки является несмещённой оценкой генеральной доли.
 Действительно, так как M( U1 ) = M( U2 ) = … = M( Un ) = p, то по свойству математического ожидания получим
.

Дисперсия выборочной доли бесповторной собственно-случайной выборки

 Используя свойство дисперсии, получим
,
далее
.
Используя свойства математического ожидания, будем иметь
Так как случайные величины U 1, U 2, … , U n одинаково распределены, то одинаково распределены их квадраты. Учитывая определение квадрата случайной величины, получим
.
Следовательно,
.
Случайная величина U i·U j (при некоторых фиксированных i ≠ j может принимать лишь два значения – 1 и 0. Значение 1 она примет, если U i и Uj примут значение 1, а 0 – в остальных случаях. По теореме умножения вероятностей для зависимых событий получим
.
Поэтому, математическое ожидание случайной величины Ui·U j ( i ≠ j ) равно
Следовательно,
Принимая во внимание полученное выше, имеем
.
Выражение для дисперсии суммы случайных величин U 1, U 2, … , U n окончательно будет иметь вид
.
 Дисперсия выборочной доли для бесповторной собственно-случайной выборки существенно отличается от выборочной доли для повторной собственно-случайной выборки
.

Замечание по применению неравенства Чебышева

 На основании неравенства Чебышева к случайным величинам U 1, U 2, … , U n применим закон больших чисел. Применительно к выборочной доле имеем
.
Так как объём выборки n всегда больше единицы, то , и последнее неравенство лишь усилится, если в нём дробь заменить единицей. В результате будем иметь
.
При постоянных p, q и как угодно малом e > 0 дробь , начиная с некоторого числа n = n ' , будет меньше любого наперёд заданного положительного числа d, как бы оно мало ни было. Тогда для выборки, объём которой n > n ', будет выполняться неравенство
P ( | U - p | ≤ ε ) ≥ 1 - δ.
Что и требовалось доказать. Использовать теорему Чебышева было нельзя, так как величины U 1, U 2, … , U n – зависимые.
 К выборочной доле бесповторной выборки можно применить теорему Ляпунова, хотя случайные величины U 1, U 2, … , U n – зависимые. Выборочная доля в выборке большого объёма распределена по нормальному закону. Параметры этого закона: а = М (U)= р; s 2 = D (U) = .
 Так как объём выборки достаточно большой, то различие между N и N - 1 практически несущественно, поэтому D(U) = .

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется генеральной долей?
  2. Как распределены случайные величины Z 1, Z 2, …, Z n, выражающие налич ие у обследованных элементов необходимого признака в повторной собственно-случайной выборке?
  3. Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайных величин Z 1, Z 2, …, Z n, выражающих наличие у обследованных элементов необходимого признака в повторной собственно-случайной выборке?
  4. Как определяется выборочная доля необходимого признака в повторной собственно-случайной выборке?
  5. Чему равно математическое ожидание и дисперсия выборочной доли необходимого признака в повторной собственно-случайной выборке?
  6. Дайте определение несмещённой оценки.
  7. Какой оценкой генеральной доли является выборочная доля необходимого признака в повторной собственно-случайной выборке?
  8. Как читается закон больших чисел для выборочной доли необходимого признака в повторной собственно-случайной выборке?
  9. Чем отличаются случайные величины, выражающие наличие необходимого признака в повторной и бесповторной собственно-случайной выборке?
  10. Как распределены случайные величины, выражающие наличие необходимого признака в повторной и бесповторной собственно-случайной выборке?
  11. Чему равно математическое ожидание и дисперсия случайных величин U 1, U 2, …, U n, выражающих налич ие у обследованных элементов необходимого признака в бесповторной собственно-случайной выборке?
  12. Как определяется выборочная доля необходимого признака в бесповторной собственно-случайной выборке?
  13. Какой оценкой генеральной доли является выборочная доля необходимого признака в бесповторной собственно-случайной выборке?
  14. Чему равна дисперсия выборочной доли бесповторной собственно-случайной выборки?
  15. Какими свойствами пользуются при выводе дисперсии выборочной доли бесповторной собственно-случайной выборки?
  16. Применим ли закон больших чисел к случайным величинам U 1, U 2, …, U n, выражающих налич ие у обследованных элементов необходимого признака в бесповторной собственно-случайной выборке?
  17. Как читается закон больших чисел для выборочной доли бесповторной собственно-случайной выборки?
  18. Почему нельзя пользоваться теоремой Чебышева для обоснования справедливости закона больших чисел для выборочной доли бесповторной собственно-случайной выборки?
  19. По какому закону распределена выборочная доля большого объёма и с какими параметрами распределения?