СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА

  1. Выборочная средняя повторной выборки
  2. Математическое ожидание и дисперсия случайных величин, выражающих значения признака при повторной выборке
  3. Выборочная средняя бесповторной выборки
  4. Математическое ожидание выборочной средней Y бесповторной выборки
  5. Дисперсия выборочной средней Y бесповторной выборки
  6. Вопросы для самопроверки

Выборочная средняя повторной выборки

   Пусть из генеральной совокупности для оценки неизвестной генеральной средней образуется повторная выборка объёма n. Через X 1, X 2, …, X n обозначим случайные величины, выражающие значения интересующего нас признака, при отборе первого, второго и т. д. членов выборки. Случайные величины X 1, X 2, …, X n являются одинаково распределёнными и независимыми. Каждая с вероятностями  может принимать значения x 1, x 2, … , x n, поскольку им благоприятствуют соответственно N 1, N 2 …, N n случаев из N единственно возможных, равновозможных и несовместимых случаев. Следовательно, закон распределения случайных величин Хi имеет вид
Хx 1x 2…х n
Р…
   Выборочной средней Х повторной выборки назовём среднюю арифметическую случайных величин X 1, X 2, … Xn
.

Математическое ожидание случайных величин, выражающих значения признака

,
т. е. оно равно генеральной средней. Тогда дисперсию случайной величины Хi можно представить в виде
т. е. она равна генеральной дисперсии.
   Математическое ожидание случайной величины Х равно генеральной средней , а дисперсия равна /n , где n – объём выборки, – генеральная дисперсия.
   Выборочная средняя повторной выборки является несмещённой оценкой генеральной средней, а с возрастанием объёма выборки она всё менее и менее рассеяна около неё. К случайным величинам X 1, X 2, …, X n применим закон больших чисел.
   Выборочная средняя повторной выборки достаточно большого объёма распределена по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно генеральной средней , а дисперсия равна /n .

Выборочная средняя бесповторной выборки

   Пусть случайные величины Y 1, Y 2, …, Y n, выражающие значение интересующего нас признака при отборе элементов в бесповторной выборке. Эти величины одинаково распределённые, но в отличие от случая, когда выборка повторная, они зависимые. Например:
   Выборочной средней Y бесповторной выборки назовём среднюю арифметическую случайных величин Y 1, Y 2, …, Y n:
.

Математическое ожидание выборочной средней бесповторной выборки

.
   Выборочная средняя бесповторной выборки также является несмещённой оценкой генеральной средней.

Дисперсия выборочной средней Y бесповторной выборки

.
Используя формулу для вычисления дисперсии, получим далее
.
Раскрывая квадрат и используя свойства математического ожидания, получим
   Рассмотрим произведения Y1·Y2
Y1Y2Y1·Y2Вероятность
x 1x 1x12
x 1x 2x 1·x 2
…………
x 1x mx 1·x m
x 2x 1x 1·x 2
x 2x 2x22
…………
x 2x mx 2·x m
…………
x mx 1x 1·x m
x mx 2x 2·x m
…………
x mx mx m·x m
      Найдём математическое ожидание случайной величины Y1Y2:
Последний множитель в первом слагаемом полученного выражения упрощается:
.
Аналогично преобразуются остальные множители слагаемых. Таким образом,
Тогда дисперсия выборочной средней
.
Выборочная средняя бесповторной выборки достаточно большого объёма практически отличается от генеральной средней не более чем на как угодно малую величину. Выборочная средняя бесповторной выборки достаточно большого объёма распределена по нормальному закону с параметрами: математическое ожидание равно генеральной средней, а дисперсия , или (поскольку N – 1 ≈ N):

Вопросы для самоконтроля

  1. Что называется выборочной средней некоторого признака в повторной выборке?
  2. Чему равно математическое ожидание случайных величин, выражающих значения интересующего нас признака, в повторной выборке?
  3. Чему равна дисперсия случайных величин, выражающих значения интересующего нас признака, в повторной выборке?
  4. Какой оценкой является выборочная средняя повторной выборки?
  5. Что можно сказать о рассеянии выборочной средней повторной выборки с возрастанием объёма?
  6. Применим ли к   случайным величинам, выражающих значения интересующего нас признака, закон больших чисел?
  7. Что называется выборочной средней некоторого признака в бесповторной выборке?
  8. Как распределены случайные величины, выражающих значения интересующего нас признака, в бесповторной выборке?
  9. Чему равно математическое ожидание выборочной средней в бесповторной выборке?
  10. Чему равна дисперсия выборочной средней в бесповторной выборке?
  11. Как отличается выборочная средняя бесповторной выборки достаточно большого объёма от генеральной средней?
  12. Какое распределение имеет выборочная средняя бесповторной выборки достаточно большого объёма?
  13. Назовите параметры этого распределения.