СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА

  1. Доверительные интервалы
  2. Доверительный интервал математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии
  3. Доверительный интервал дисперсии нормального распределения. Распределение хи-квадрат
  4. Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии.
  5. Пример 1
  6. Пример 2
  7. Пример 3
  8. Пример 4
  9. Вопросы для самопроверки

Доверительные интервалы

      Точечной называют оценку, которая определяется одним числом. При выборке малого объёма точечная оценка может значительно отличаться от оцениваемого параметра. По этой причине при небольшом объёме выборки следует пользоваться интервальными оценками.
   Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами — концами интервала.
   Пусть найденная по данным выборки статистическая характеристика θ* служит оценкой неизвестного параметра θ. Величина θ* тем точнее определяет параметр θ, чем меньше абсолютная величина разности | θ* - θ |. Очевидно, что при уменьшении параметра δ в соотношении | θ* - θ| < δ точность оценки возрастает. Таким образом, эта величина δ характеризует точность оценки.
   Однако, статистические методы не позволяют категорически утверждать, что оценка θ* удовлетворяет неравенству | θ* - θ | < δ; можно лишь говорить о вероятности γ, с которой это неравенство осуществляется.
   Надёжностью (доверительной вероятностью) оценки θ по * называется вероятность γ, с которой осуществляется неравенство | θ* - θ | < δ:
Р[| θ* - θ| < δ] = γ.
Заменяя неравенство |θ* - θ| < δ равносильным ему двойным неравенством - δ < θ - θ* < d, или θ* - δ < θ < θ* + δ, имеем
Р[θ* - δ < θ < θ* + δ] = γ.
Это соотношение следует понимать так: вероятность того, что интервал ( θ1 = θ* - δ, θ2 = θ* + δ) заключает в себе неизвестный параметр, равна γ.
   Доверительным называют интервал (θ1, θ2), который покрывает неизвестный параметр с заданной надёжностью.
   Числа θ1 и θ2 называются доверительными границами для параметра θ. Число γ называется надёжностью сделанной оценки.
   Числа θ1 и θ2 находятся по сделанной выборке и поэтому являются функциями от x1, х2, …, хn ( случайных величин) а, следовательно, сами – случайные величины. Таким образом, доверительный интервал ( θ1, θ2) тоже случаен. То есть, событие θ ∈ (θ1, θ2) является случайным.

Доверительный интервал математического ожидания нормального распределения при известной дисперсии

   Пусть из генеральной совокупности Х с нормальным законом распределения N (μ, σ) и известным генеральным средним квадратическим отклонением σ взята случайная выборка Х1, Х2, …, Хn объёмом n и вычислено X. Требуется найти интервальную оценку для математического ожидания а.
   Выборка Х1, Х2, …, Хn может рассматриваться как n независимых одинаково распределённых случайных величин. Поэтому
M(X1) = M(X2) = … = M(Xn) = a,
D(X1) = D(X2) = … = D(Xn) = σ2.
         Тогда для среднего по свойству математического ожидания и дисперсии имеем
.
Используя интервальную оценку вероятности нормально распределённой величины
P( | x - a | < δ) = γ,
получим
.
Задавая определённую доверительную вероятность γ, по таблице интегральной функции вероятностей Φ(t) можно определить значение t γ, для которого имеет место соотношение
.
При этом , откуда имеем . И, таким образом, имеем
.
Найденная интервальная оценка для математического ожидания представляет собой искомый доверительный интервал. Точность оценки равна
.
Нижняя и верхняя границы доверительного интервала равны
θ max = X + Δ, θ min = X - Δ.
Ширина доверительного интервала равна
b = θmax - θmin = 2 Δ .

Доверительный интервал дисперсии нормального распределения. Распределение хи-квадрат

   Пусть некоторая случайная величина ξ распределена по нормальному закону, для которого неизвестна дисперсия σ 2. Для оценки этого неизвестного параметра производится выборка X 1, X 2, …, X n, результаты обследования элементов которых являются независимыми случайными величинами, распределенных, как и ξ. Пусть по этой выборке найдена выборочная дисперсия s. Для решения поставленной задачи рассмотрим случайную величину
.
Её функция распределения называется распределением хи-квадрата с n–1 степенями свободы. Пусть F(x) есть функция распределения этой случайной величины. Подберём по заданной надёжности γ положительные числа x 1(γ) и x 2(γ) так, чтобы выполнялись равенства
.
Поскольку функция распределения F (x) возрастает и непрерывна, то для любого γ (0 < γ < 1) числа x 1(γ) и
x2(γ) существуют и единственны. Тогда
,
или
,
откуда получаем
.
Следовательно, интервал
есть доверительный интервал для дисперсии σ 2 с надёжностью γ, а интервал
 
есть доверительный интервал для параметра σ нормального распределения с надёжностью γ.

Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии

   Предположим теперь, что генеральная совокупность Х распределена по нормальному закону N(а, σ) с неизвестным средним квадратическим отклонением σ. В этом случае для построения интервальной оценки генеральной средней а используется статистика , имеющая распределение Стьюдента с числом степеней свободы (n – 1). Закон распределения случайной величины Т не зависит ни от математического ожидания, ни от дисперсии.
   Предполагается, что средняя арифметическая X  и выборочное среднее квадратическое отклонение S определены по результатам выборки объёмом n из генеральной совокупности Х.
   По таблице t распределения (Стьюдента) для α с n – 1 степеней свободы находим значение tα, ν, для которого справедливо неравенство
,
где точность оценки генеральной средней равна
.
При достаточно больших n различий между доверительным интервалами, определёнными по формулам, мало, так как при n → ∞ распределение Стьюдента стремится к нормальному распределению.

Пример 1

   Вычислить с надёжностью 0,96 доверительный интервал для дисперсии нормального распределения по выборке объёма 18. Если γ = 0,96, то = 0,02. По таблице распределений хи-квадрат находим (в строке n – 1 = 17) x2 = 31. Для нахождения х1 берём q – 1 = 0,98 и в колонке 0,98 и строке 17 находим х1 = 7,3. Следовательно, доверительный интервал с надёжностью 0,96 для дисперсии будет
,
а для параметра σ имеем интервал
.

Пример 2

   Пусть средняя арифметическая равна x =7,1 дня; выборочное среднее квадратичное отклонение равно S = 4,28 дня, объём выборки n = 30. Найти с надёжностью 0,9 границы доверительного интервала для оценки генеральной средней.
   Решение. Так как σ нам неизвестна, из таблиц t-распределения для числа степеней свободы ν = 30 - 1 = 29 и α = 1 – γ = 1 – 0,9 = 0,1 найдём tα = 1,699. Тогда точность оценки равна
= 1,699· = 1,35.
Отсюда доверительный интервал равен
7,1 – 1,35 ≤ а ≤ 7,1 + 1,35
и окончательно
5,75 ≤ а ≤ 8,45 (дня).

Пример 3

   Произведено 30 измерений диаметров поршневых колец. По результатам измерений найдено x = 96 мм. Предположив, что ошибки измерения распределены по нормальному закону с σ = 0,5мм, найти вероятность того, что неизвестный параметр будет находиться внутри доверительного интервала со случайными границами (0,999 x; 1,001 x).
   Решение. Воспользуемся формулой
 Смотри литературу

Пример 4

   Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,995 точность оценки генеральной средней по выборочной средней будет равна d = 0,55. Известно, что выборка взята из нормальной генеральной совокупности с σ = 2,1.
   Решение. Воспользуемся формулой, определяющей точность оценки генеральной средней по выборочной средней
,
откуда имеем . По условию γ = 0,995; и следовательно, F(t) = 0,995/2 = 0,4975. По таблице приложения № 2 [2] найдём t = 2,81. Подставляя найденные значения в формулу, получим
.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется доверительным интервалом?
  2. Что называется надёжностью сделанной оценки?
  3. Является ли попадание оцениваемого параметра в доверительный интервал случайным событием?
  4. От чего зависят границы доверительного интервала?
  5. При каком предположении о распределении результатов обследования элементов выборки находится доверительный интервал математического ожидания при известной дисперсии?
  6. Какая интегральная функция используется для построения доверительного интервала математического ожидания при известной дисперсии?
  7. Чему равна точность оценки и ширина доверительного интервала в этом случае?
  8. Функция распределения какой случайной величины называется распределением Пирсона или распределением хи-квадрат?
  9. Что называется степенью свободы распределения Пирсона?
  10. Какое свойство интегральной функции используется для нахождения доверительного интервала?
  11. К какому распределению стремится распределение Стьюдента при увеличении объёма выборки?
  12. Какая случайная величина используется для нахождения доверительного интервала математического ожидания нормального распределения при неизвестной дисперсии?