| СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА |
- Марковские процессы.
- Марковский процесс гибели и размножения.
- Марковские цепи с конечным числом состояний и непрерывным временем.
- Поток событий. Простейший поток и его свойства.
- Потоки Пальма. Потоки Эрланга.
Марковские процессы
Система X называется системой с дискретными состояниями, если она имеет счетное (в частном случае – конечное) множество возможных состояний x1, x2, …, xn, … и переход из одного состояния в другое осуществляется скачком..
Возможные состояния системы X наглядно изображаются с помощью так называемого графа состояний (см. рис.1, 2), на котором состояния системы изображены прямоугольниками, а возможные переходы системы из состояния в состояние – стрелками, соединяющими соответствующие прямоугольники.
 Рис. 1. Граф перехода состояний |
 Рис.2. x3 – состояние без выхода |
Состояние системы называется " состоянием без выхода ", если из него невозможен переход ни в какое другое состояние (см. состояние x3 на рис. 2).
Для описания случайного процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями x1, x2, …, xn часто пользуются вероятностями состояний
.Если в системе X с дискретными состояниями происходит случайный процесс, то переходы системы из состояния в состояние можно рассматривать как процесс, происходящий под влиянием некоторых потоков событий. Случайный процесс с дискретными состояниями называется марковским, если все вероятностные характеристики процесса в будущем зависят лишь от того, в каком состоянии этот процесс находится в настоящий момент времени, и не зависят от того, каким образом этот процесс протекал в прошлом ("будущее зависит от прошлого только через настоящее").
Представим себе, что производится последовательность испытаний, в каждом из которых может осуществиться одно и только одно из к несовместимых событий A1(s), A2(s), … , Ak(s) (верхний индекс обозначает номер испытания). Cкажем, что последовательность испытаний образует простую цепь Маркова, если условная вероятность в (s + 1)-м испытании (s = 1, 2, 3 , … ) осуществиться событию Ak(s + 1) ( i= 1, 2, … , k), после того как в s м испытании, произошло известное нам событие, зависит только от того, каким было событие, происшедшее в s м испытании, и не изменяется от добавочных сведений о том, какие события происходили в более ранних испытаниях.
Часто при изложении теории цепей Маркова придерживаются иной терминологии и говорят о некоторой физической системе S, которая в каждый момент времени может находиться в одном из состояний x1, x1, …, xk и меняет свое состояние только в моменты t1, t2, … , tn, …. Для цепей Маркова вероятность перейти в какое либо состояние Ai (i = 1, 2, … , k) в момент τ (ts < τ < ts + 1 ) зависит только от того, в каком состоянии система находилась в момент t ( ts − 1 < t < ts), и не изменяется от того, что становятся известными ее состояния в более ранние моменты.
Для рассмотрим два примера.
П р и м е р 1. Пусть частица, находящаяся на прямой, движется по этой прямой под влиянием случайных толчков, происходящих в моменты t1, t2, … , tn, …. . Частица может находиться в точках с целочисленными координатами а, а + 1, а + 2, …, b; в точках а и b находятся отражающие стенки. Каждый толчок перемещает частицу вправо с вероятностью р и влево с вероятностью q = 1 − р, если только частица не находится у стенки. Если же частица находится у стенки, то любой толчок переводит ее на единицу внутрь промежутка между стенками. Приведенный пример блуждания частицы представляет собой типичную цепь Маркова..
П р и м е р 2. В модели Бора атома водорода электрон может находиться на одной из допустимых орбит. Обозначим через Аi событие, состоящее в том, что электрон находится на i й орбите. Предположим, что изменение состояния атома может наступить только в моменты t1, t2, … , tn, …. (эти моменты представляют собой случайные величины). Вероятность перехода с i й орбиты на j ю в момент ts зависит только от i и j (разность j − i зависит от количества энергии, на которую изменился заряд атома в момент ts и не зависит от того, на каких орбитах находился электрон в прошлом.
Для однородных цепей Маркова условная вероятность появления события Ak(s + 1) в ( s + 1 ) м испытании при условии, что в s м испытании осуществилось событие Ak(s) не зависит от номера испытания. Назовем эту вероятность вероятностью перехода и обо- значим буквой pij в этом обозначении первый индекс всегда будет обозначать результат предшествующего испытания, а второй индекс указывает, в какое состдяние перейдет система в последующий момент времени.
Полная вероятностная картина возможных изменений, осуществляющихся при переходе от одного испытания к непосредственно следующему, задается матрицей перехода
.
.П р и м е р 4. Получим матрицу перехода для описанного в первом примере случая частицы, блуждающей между двумя отражающими стенками. Если обозначить через А1 событие, состоящее в пребывании частицы в точке с координатой а, через А2 пребывание в точке с координатой а + 1, …, через Аs (s = b − a + 1) – пребывание в точке с координатой b, то матрицей перехода будет
.
.- Вероятности должны быть неотрицательными числами, т. е. при всех i и j
0 ≤ pij ≤ 1. - Из того, что при переходе из состояния Ai(s) перед (s + 1) м испытанием система обязательно переходит в одно и только в одно из состояний после (s + 1) го испытания, вытекает равенство
(i = 1, 2, …, k).
Рассмотрим какое-нибудь промежуточное испытание с номером s + m. В этом испытании осуществится какое-то одно из возможных событий Ar(s + m) (1 ≤ r ≤ k). Вероятность такого перехода согласно только что введенным обозначениям равна Рir (m). Вероятность же перехода из состояния Ar(s + m) в состояние Aj(s + n) равна prj (n − m). По формуле полной вероятности
.
(1)
.
.для блуждания частицы между отражающими стенками (s ≥ 5)
,
.Если процесс, протекающий в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем, является марковским, то для вероятностей состояний p1 ( t ), p2 ( t ), …, pn ( t ) можно составить систему линейных дифференциальных уравнений.
При составлении этих дифференциальных уравнений удобно пользоваться графом состояний системы, на котором против каждой стрелки, ведущей из состояния в состояние, проставлена плотность (интенсивность) потока событий, переводящего систему из состояния в состояние по данной стрелке. Образец такого графа (размеченного графа состояний) показан на рис. 3. Здесь λi,j обозначает плотность потока событий, переводящего систему из состояния xi в состояние xj.
Рис. 3. Плотности перехода
, а в правой части – столько членов, сколько стрелок связано непосредственно с данным состоянием; если стрелка ведет в данное состояние, член имеет знак плюс, если ведет из данного состояния, член имеет знак минус. Каждый член равен плотности потока событий, переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка. Например, для системы X, размеченный граф состояний которой показан на рис. 3, система дифференциальных уравнений будет:
Если в числе состояний системы имеются состояния без выхода, то при t -> ∞ система с практической достоверностью оказывается в одном из них.
Если все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, стационарны (λi,j = const), общее число состояний конечно и состояний без выхода нет, то предельный режим существует и характеризуется предельными вероятностями состояний p1 ( t ), p2 ( t ), …, pn ( t ) (
). Чтобы найти эти вероятности, приравнивают нулю левые части уравнений для вероятностей состояний ( полагают все производные равными 0) и решают полученную систему линейных алгебраических уравнений. К ним добавляется нормировочное условие
Марковский процесс гибели и размножения
П р и м е р 7. Техническое устройство состоит из трех одинаковых узлов, каждый из них может выходить из строя. Вышедший из строя узел немедленно начинает восстанавливатья. Состояния системы пронумеруем по числу отказавших узлов:
S0 – все три узла исправны;
S1 – один узел неисправен (восстанавливается), два исправны;
S2 – два узела неисправены (восстанавливаются), один исправны;
S3 – все три узла неисправны (восстанавливаются).
Граф состояний показан на рис. 4.
Рис. 4.Линейный граф схемы " гибеди и размножения"
Для состояния S0 имеем
λ23 p2 = λ32 p3, (9)
Для схемы гибели и размножения, члены, соответствующие стоящим друг над другом стрелкам, равны между собой:λ21 p2 = λ12 p1,
λ32 p3 = λ23 p2,
λ23 p2 = λ32 p3.
,
(11)
,
(12)
. (13)
Все вероятности p1, p2, p3 выражены через p0. Подставим соотношения (11), (12), (13) в нормировочное уравнение (10). Получим
,
.
(14)
П р и м е р 8. Найти предельные вероятности состояний для процесса гибели и размножения, граф которого указан на рис.85.
Рис. 5. Граф состояния для примера 8
Решение. Граф состояний в рассматриваемом примере имеет вид рис. 6.
Рис. 6. Граф состояний примера 9
Если система находится в состоянии S1, то работают два узла; общий поток отказов имеет интенсивность λ12 = 2/ tб. Аналогично λ23 = 1/ tб.
По стрелкам влево систему переводят ремонты. Среднее время ремонта равно tр, значит, интенсивность потока восстановления, действующий на один восстанавливаемый узел, равна μ = λ10 = 1/tр, на два узла — λ21 = 2/tр, на три — λ32 = 3/tр.
Пользуясь соотношениями (11) – (14), получим
Р е ш е н и е . Рассмотрим два состояния системы:
x0 – система исправна,
x1 – система ремонтируется.
Вероятности этих состояний в момент t обозначим р0 (t) и р1 (t) соответственно; составим размеченный граф состояний
Рис. 7. Граф состояний задачи 9.
Марковские цепи с конечным числом состояний и непрерывным временем
Для описания таких процессов может быть применена схема марковского случайного процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем, который назвают непрерывной цепью Маркова.
Покажем, как выражаются вероятности состояний для такого процесса.
Пусть имеется ряд дискретных состояний S1, S2, …, Sn. Переход системы из состояния в состояние может осуществиться в любой момент времени. Этот процесс можно схематично представить графом состояний.
Обозначим pi (t) вероятность того, что в момент времени t система будет находиться в состоянии Si ( i = 1, 2, …, n). Для любого момента времени t сумма вероятностей состояний равна единице:
(15)Для того, чтобы найти вероятности p1 (t), p2 (t), …, pn (t), необходимо знать характеристики процесса, аналогичные переходным вероятностям для марковской цепи. В случае процесса с непрерывным временем не придётся задавать определённые, отличные от нуля, переходные вероятности pi j; вероятность перехода системы из состояния в состояние точно в момент времени t будет равна нулю ( так же как вероятность любого определённого значения непрерывной случайной величины). Вместо переходных вероятностей pi j введём в рассмотрение плотность вероятностей перехода λ i j.
Пусть система в момент времени t находится в состоянии Si. Рассмотрим элементарный промежуток времени Δ t, примыкающий к моменту t.
Назовём плотностью вероятности перехода λi j предел отношения вероятности перехода системы за время Δ t из состояния Si в состояние Sj к длине промежутка Δ t
, (16)
Из формулы (16) следует, что при малом Δ t вероятность перехода pi j (Δ t) ( с точностью до бесконечно малых высшего порядка) равна λi j Δ t
Предположим, что плотности вероятностей перехода λ i j известны для всех пар состояний Si, Sj. Построим граф состояний системы и против каждой стрелки поставим соответствующие плотности вероятностей перехода. Такой граф, с проставленными у стрелок плотностями вероятностей перехода, называется размеченным графом состояний.
По размеченному графу состояний можно определить вероятности состояний
Пример 10. Прибор может находиться в одном из четырёх режимах работы S1, S2, S3, S4. Размеченный граф состояний прибора показан на рис. 8.
Рис. 8. Граф состояний примера 10.
Придадим t малое приращение Δ t и найдём вероятность того, что в момент времени t + Δ t система будет находиться в состоянии S1. Как это событие может произойти? Очевидно, двумя способами – в момент t прибор уже был на режиме S1, а за время Δ t не вышел из этого режима; или – в момент t прибор был на режиме S3, а за время Δ t прибор перешёл из режима S3 в режим S1.
Вероятность первого варианта найдём как произведение вероятности p1(t) того, что в момент t прибор был на режиме S1 на условную вероятность того, что, будучи в состоянии S1, система за время Δ t не перейдёт из него в S2. Эта условная вероятность с точностью до бесконечно малых высшего порядка малости равна 1 − λ12 Δt.
Вероятность второго варианта равна вероятности того, что в момент t прибор работал в режиме S3, умноженной на условную вероятность перехода за время Δ t в состояние S1.
.
.
.
(17)
Рассмотрим второе состояние S2 и найдём p2(t + Δ t) – вероятность того, что в момент (t + Δ t) прибор будет находиться в режиме S2. Это событие может произойти следующими способами:
- – в момент t прибор уже был на режиме S2, и за время Δ t изменения состояния прибора не произошло;
- – в момент t прибор был на режиме S1, и за время Δ t перешёл на режим S2, или
- – в момент t прибор был на режиме S4, и за время Δ t перешёл на режим S2.
.
(18)
(19)
Интегрирование этой системы уравнений даст искомые вероятности режимов как функции времени. Начальные условия берутся в зависимости от того, каков был начальный режим прибора. Например, в режиме S1, надо принять начальные условия
Обратим внимание на структуру уравнений (19). Все они построены по определённому правилу.
В левой части каждого уравнения стоит производная веростности состояния, а правая часть содержит столько членов, сколько стрелок связано с данным состоянием. Если стрелка направлена из состояния, соответствующий член имеет знак "минус"; если в состояние – знак "плюс". Каждый член равен произведению плотности вероятности перехода, соответствующей данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, из которого исходит стрелка.
Это правило составления дифференциальных уравнений для вероятностей состояний является общим и справедливо для любой непрерывной марковской цепи. С его помощью можно совершенно механически, без всяких рассуждений, записывать дифференциальные уравнения для вероятностей состояний непосредственно по размеченному графу.
Пример 11. Составить дифференциальное уравнение для размеченного графа
Рис. 9 Граф для примера 11.
Поток событий. Простейший поток и его свойства.
Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие то случайные моменты времени.
Примерами могут быть:
- – поток вызовов на телефонной станции;
- – поток включений приборов в бытовой электосети;
- – поток грузовых составов, поступающих на железнодорожную станцию;
- – поток … и т. д.
Будем изображать поток событий последовательностью точек на оси времени 0t. Положение каждой точки на оси случайно.
Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определённые промежутки времени. Такой поток сравнительно редко встречается на практике, но его можно рассматривать как предельный случай.
При исследовании операций чаще приходится встречаться с потоками событий, для которых и моменты наступления событий и промежутки времени между ними случайны.
О п р е д е л е н и е 1. Поток событий называется стационарным, если попадания того или иного числа событий на участок времени длиной τ зависит только от длины участка и не зависит от того, где именно на оси Ot расположен этот участок.
О п р е д е л е н и е 2. Поток событий называется потоком без последствия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой.
О п р е д е л е н и е 3. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на элементарный участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.
Стационарность потока означает его однородность по времени: вероятностные характеристики такого потока не должны меняться в зависимости от времени. В чатности, интенсивность (или плотность) потока событий – среднее число событий в единицу времени, для стационарного потока должна оставаться постоянной. Это не означает, что фактическое число событий, появляющихся в единицу времени, постоянно; поток может иметь местные сгущения и разряжения. Важно для стационарного потока эти сгущения и разряжения не носят закономерного характера, а среднее число событий, попадающих на единичный учаток времени, остается постоянным для всего рассматриваемого периода.
На практике часто встречаются потоки событий, которые (по крайней мере на ограниченном участке времени) могут рассматриваться как стационарные. Например, поток вызовов, поступающих на телефонную станцию, скажем, на интервале от 12 до 13 часов может считаться стационарным. Тот же поток в течение целых суток уже не будет стационарным (точью интенсивность потока вызовов меньше, чем днем). Так же обстоит дело и в с большинством физических процессов, которые мы называем "стационарными" – в действительности они стационарны только на ограниченном участке времени, а распространение этого участка до бесконечности – лишь удобный прием для упрощения.
Отсутствие последействия в потоке означает, что события потока появляются в последовательные моменты времени независимо друг от друга. Например, поток пассажиров, входящих на станцию метро, можно считать потоком без последействия, потому что причины, обусловившие приход отдельного пассажира именно в данный момент, а не в другой, как правило, не связаны с аналогичными причинами для других пассажиров. Если такая зависимость появляется, условие отсутствия последействия оказывается нарушенным.
Рассмотрим поток грузовых поездов, идущих по железнодорожной ветке. Если, по условиям безопасности, они не могут следовать один за другим чаще, чем через интервал времени τ0, то между событиями в потоке имеется зависимость, и условие отсутствия последействия нарушается. Если интервал τ0 мал по сравнению со средним интервалом между поездами τ, такое нарушение несущественно, но если интервал τ0 сравним с τ, его приходится учитывать.
Ординарность потока означает, что события в потоке происходят поодиночке, а не группами. Например, поток клиентов в парикмахерскую, что нельзя сказать о потоке клиентов в ЗАГС для регистрации брака.
Если в неординарном потоке события происходят только парами, группами, то можно его рассматривать как ординарный "поток пар", "поток групп". Несколько сложнее обстоит дело, если число событий, образующих "пакет" (группу одновременно происходящих событий) случайно. Тогда приходится наряду с потоком пакетов рассматривать случайную величину Х – число событий в пакете, и математическая модель потока становится болоее сложной: он представляет собой не только последовательность моментов появления пакетов, но и последовательность случайных величин – чисел событий в каждом пакете. Пример неординарного потока событий со случайным числом событий в пакете – поток товарных вагонов, прибывающих на сортировочную станцию ("пакетом" является поезд).
Рассмотри поток событий, обладающий всеми тремя свойствами: стационарный, без последствия, ординарный. Такой поток называется простейшим (или стационарным пуассоновским) потоком. Название "простейший" связано с тем, что математическое описание событий, связанных с простейшими потоками, оказывается наиболее простым. Отметим, что "самый простой", на первый взгляд, регулярный поток со строго постоянными интервалами между событиями не является "простейшим" в вышесказанном смысле слова.. Он обладает ярко выраженным последействием, так как моменты появления событий связаны между собой жёсткой функциональной зависимостью. Именно из за этого последействия анализ процессов, связанных с регулярными потоками, оказывается, как правило, труднее, а не легче по сравнению с простейшими.
Простейший поток играет среди других потоков особую роль. При суперпозиции (взаимном наложении) достаточно большого числа потоков, обладающих последействием (лишь бы они были стационарны и ординарны), образуется суммарный поток, который можно считать простейшим, и тем точнее, чем больше число потоков складывается.
Если поток событий не имеет последствия, ординарен, но не стационарен, он называется нестационарным пуассоновским потоком. В таком потоке интенсивность λ (среднее число событий в единицу времени) зависит от времени:
λ = λ (t),
тогда как для простейшего потокаλ = const.
Пуассоновский поток событий (как стационарный, так и нестационарный) связан с распределением Пуассона. Число событий потока, попадающих на любой участок, распределено по закону Пуассона. Действительно, рассмотрим на оси Ot, где наблюбается поток событий, некоторый временной интервал длины τ, начинающийся в момент t0 и заканчивающийся в момент t0 + τ. Вероятность попадания на этот участок ровно m событий выражается формулой
(m = 0, 1, … ), (20)
Для стационарного (простейшего) пуассоновского потока, величина α равна интенсивности потока, умноженной на длину интервала:
α = λ·τ,
т.е. не зависит от того, где на оси Ot взят участок τ. Для нестационарного пуассоновского потока величина α выражается формулой:
,
Рассмотри на оси Ot простейший поток событий с интенсивностью λ. Нас будет интересовать интервал времени T между соседними событиями в этом потоке. Величина T есть случайная величина, найдём её функцию распределения:
F (t ) = p (T < t),
т.е. вероятность того, что величина T примет значение, меньшее, чем t. Отложим от начала интервала T (точки t0) отрезок t и найдём вероятность того, что интервал T будет меньше t. Для этого нужно, чтобы на участок длины t, примыкающий к точке t0, попало хотя бы одно событие потока. Вычислим вероятность этого F (t ) через вероятность противоположного события ( на участок t не попадёт ни одного события потока):F (t ) = 1 − p0.
Вероятность p0 найдём по формуле (20), полагая m = 0:
,
F (t ) = 1 − e− λt (t > 0 ). (21)
Закон распределения с плотностью (21) называется показательным. Параметр λ называется параметром показательного закона.Найдём числовые характеристики случайной величина T – математическое ожидание mt
, (22)
. (23)
. (24)
Исследуя структуру простейшего потока событий пришли к заключению: промежуток времени T между соседними событиями в простейшем потоке распределён по показательному закону; его среднее значениее и среднее квадратическое отклонение равны 1/λ, где λ – интенсивность потока.
Для нестационарного пуассоновского потока закон распределения промежутка T уже не будет показательным; вид этого закона будет зависеть от того, где на оси Ot расположено первое из событий, и от вида зависимости λ (t), характеризующей переменную интенсивность потока. Однако, если λ (t) меняется сравнительно медленно и его изменение за время между двумя событиями невелико, то закон распределения промежутка времени между событиями можно приближённо считать показательным (21), полагая в этой формуле величину λ равной среднему значению λ (t) на этом участке.
Найдём вероятность того, что на участке Δ t появится какое-то событие потока, т.е. участок не будет "пуст". Так как поток ординарен, вероятностью появления на участке Δ t более чем одного события можно пренебречь. Обозначим p0( Δ t) вероятность того, что на участке Δ t не будет события, а p1( Δ t) – вероятность того, что на участке Δ t появится одно событие. В силу однородности потока
p1( Δ t) ≈ 1 − p0( Δ t),
а вероятность p0( Δ t) вычисляется по формуле (20):
,
p1( Δ t) ≈ 1 − e− λ·Δt.
Разлагая e− λ·Δt в ряд по степеням λ·Δt и пренебрегая величинами высшего порядка малости, получим:p1( Δ t) ≈ 1 − (1 − λ·Δt).
Откудаp1( Δ t) ≈ λ·Δt. (25)
т.е. вероятность появления на элементарном участке времени Δt какого-то события потока приближённо равна λ·Δt, где λ – интенсивность потока. Эту вероятность будем называть "элементом вероятности появления события".Такая же формула будет справедлива и для нестационарного пуассоновского потока, с той разницей, что величину λ нужно брать равной её значению в той точке t, к которой примыкает участок Δt:
p1( Δ t) ≈ λ(t)·Δt.
Потоки Пальма. Потоки Эрланга
Простейший (стационарный пуассоновский) поток является частным случаем потока Пальма: в нём промежутки T1, T2, …, Ti, … представляют собой случайные величины, распределённые по одному и тому же показательному закону; их независимость следует из того, что простейший поток есть поток без последствия, и промежутки по времени между любыми двумя событиями не зависят от того, каковы промежутки между другими.
П р и м е р. Некоторый элемент технического устройства работает непрерывно до своего выхода из строя, после чего он мгновенно заменяется новым. Срок работы элемента случаен. Если отдельные экземпляры элементов выходят из строя независимо друг от друга, то поток отказов ( или "поток восстановлений", так как отказ и восстановление происходят в один и тот же момент) представляет собогй поток Пальма.
Если к тому же срок работы элемента распределён по показательному закону, поток Пальма превращается в простейший (стационарный пуассоновский) поток.
П р и м е р. Группа самолётов идёт в боевом порядке "колонна" с одинаковой для всех самолётов скоростью V. Каждый из них, кроме ведущего, обязан выдержать строй, т.е. держаться на заданном расстоянии от впереди идущего. Это расстояние измеряется дальномером и выдерживается с ошибками. Моменты пересечения самолётами заданного рубежа при этих условиях образуют поток Пальма, так как случайные величины
независимы. Заметим, что этот же поток не будет потоком Пальма, если самолёты стремятся выдержать заданное расстояние не от соседа, а от ведущего всю колонну.Многие потоки событий, встречающиеся на практике, не являются в точности потоками Пальма, но могут быть ими приближённо заменены.
Важными для практики образцами потоков Пальма являются так называемые потоки Эрланга (Э). Эти потоки образуются в результате "просеивания" простейших рядов.
Потоком Эрланга k - го порядка (Эk) называется поток событий, получаемый из простейшего потока путем операции "разрежения", когда выбрасывают из потока k точек подряд, и сохраняется только ( k + l ) - ю (рис. 10). Простейший поток есть поток Эрланга первого порядка.
Рис. 10. Поток Эрланга k – го порядка
.
f1(t) = λ e−λ t (t > 0).
Закон распределения интервала Т между соседними событиями в потоке Эk называется законом Эрланга k - го порядка.Найдём выражение для плотности распределения этого закона; обозначим её fk(t). Для этого рассмотрим на оси времени простейший поток с интенсивностью λ, в котором события разделены интервалами T1, T2, …, и найдём элемент вероятности fk(t)·dt – вероятность того, что интервал
окажется в пределах элементарного участка (t, t + dt).Для этого на участок длиной t должно попасть ровно k − 1 точек простейшего потока; вероятность этого события, согласно формуле (20) равна
.
,
( t > 0). (26)
Функция распределения
( t > 0),
. (28)
.
. (29)
Очевидно
Λk = λ/k; λ = k·Λk,
так как из исходного простейшего потока с интенсивностью λ берётся только k - я часть.Подставляя выражение λ через Λ в формулу (26), получим
(t > 0) (30)
. (31)
Λk = Λ = const,
будем менять только порядок k закона Эрланга. Его математическое ожидание останется постоянным:
, (32)
. (33)
.
В целях упрощения часто бывает удобно приближённо заменить реальный поток событий – потоком Эрланга с тем же последействием. Это делают, согласовывая характеристики реального потока – математическое ожидание и дисперию интервала между событиями – с теми же характеристиками заменяющего потока Эрланга.
Как плотность распределения f k ( t ), так и функцию распределения F k ( t ) для закона Эрланга любого порядка можно вычислять, пользуясь таблицами пуассоновского распределения
.F k ( t ) = 1 − R ( k, λt),
.
.
При увеличении порядка k потока Эрланга (и одновременном уменьшении масштаба по оси Ot делением на (k + 1) поток Эрланга приближается к регулярному.
Пример. В результате статистической обработки интервалов времени между событиями в некотором потоке получены следующие характеристики:
- – среднее значение интервала mt = 2 мин,
- – среднее квадратическое отклонение интервала σt = 0,9 мин.
Решение. Интенсивность Λ есть величина, обратная среднему интервалу между событиями:
Λ = 1/mt = 1/2 = 0,5 (соб/мин)
Из формулы (33) находим порядок потока Эрланга k:
k = 5.
Итак, данный поток можно приближённо заменить потоком Эрланга 5 - го порядка с плотностью вида:
(t > 0) (34)
Рис. 11. График плотности распределения вероятностей примера.
Потоки Эрланга весьма удобны для приближённого представления потоков Пальма любого вида, так как потоки Эрланга различных порядков образуют целую гамму, дающую постепенный переход от простейшего потока (полное отсутствие последействия) к потоку с регулярными интервалами (полное, жёсткое последействие).