СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА

  1. Задачи теории массового обслуживания
  2. Классификация систем массового обслуживания и их основные характеристики.
  3. Одноканальная СМО с отказами.

Задачи теории массового обслуживания

 Каждая система СМО состоит из какого - то числа обслуживающих единиц, которые называют каналами обслуживания. В качестве "каналов" могут быть линии связи, рабочие точки, приборы, железнодорожные пути и т.д.
 СМО могут быть одноканальными или многоканальными.
 Каждая СМО предназначена для обслуживания какого - то потока заявок (требований), потупающихна СМО в какие - то случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки продолжается некоторое время случайное время, после чего канал освобождается и готов к принятию следующей заявки. Случайный характер потока заявок приводит к тому, что к какие - то промежутки времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок (они либо образуют очередь, либо покидают СМО необслуженными); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать.
 Каждая СМО, в зависимости от числа каналов и их производительности, а также от характера потока заявок, обладает какой - то пропускной способностью, позволяющей её более или менее успешно справляться с потоком заявок. Предмет теории СМО – установление зависимости между характером потока заявок, числом каналов, их производительностью, правилами работы СМО и успешностью (эффективностью) обслуживания.
В качестве характеристик эффективности обслуживания, в зависимости от условий задачи и целей исследования, могут применяться различные величины и функции, например:
  1. – среднее колдичество заявок, которое может обслужить СМО в единицу времени;
  2. – средний процент заявок, получающих отказ и покидающих СМО необслуженными;
  3. – вероятность того, что поступившая заявка немедленно будет принята к обслуживанию;
  4. – среднее время ожидания в очереди;
  5. – закон распределения времени ожидания;
  6. – закон распределения числа заявок в очереди;
  7. – средний доход, приносимый СМО в единицу времени и т.д.
 Случайный характер потока заявок, длительности обслуживания приводит к тому, что в СМО будет происходить какой - то случайный процесс. Чтобы дать рекомендации по рациональной по рациональной организации этого процесса и предъявить разумные требования к СМО, необходимо изучить случайный процесс, протекающий в системе, описать его математически. Этим и занимается теория массового обслуживания электронные цифровые вычислительные машины, системы сбора и обработки информации, автоматизированные производственные цехи, поточные линии, транспортные системы, системы противовоздушной обороны и т.п.).
 Математический анализ работы СМО облегчается, если случайный процесс, протекающий в системе, является марковским. Тогда удаётся сравнительно просто описать работу СМО с помощью аппарата обыкновенных дифференциальных уравнений и выразить в явном виде основные характеристики эффективности обслуживания через параметры СМО и потока заявок.
 Для того, чтобы процесс, протекающий в системе, был марковским, нужно, чтобы все потоки событий, переводящие систему из состояния в состояние, был пуассоновским (потоками без последействия). Для СМО потоки событий – это потоки заявок, потоки обслуживания заявок и т.д. Если эти потоки не являются пуассоновскими, математическое описание процессов, происходящих в СМО, становится несравненно более сложным и требует более громоздкого аппарата, доведение которого до явных, аналитических формул удаётся только в редких, простейших случаях. Однако, все же аппарат "марковской" теории массового обслуживания может пригодиться и в том случае, когда процесс, протекающий в СМО, отличен от марковского – с его помощью характеристики эффективности СМО могут быть оценены приближённо. Следует заметить, что чем сложнее СМО, чем больше каналов обслуживания, тем точнее оказывается приближённые формулы, полученные с помощью марковской теории. Следует также заметить, что в ряде случаев для принятия обоснованных решений по управлению работой СМО вовсе и не требуется точного знания всех её характеристик – зачатую достаточно и приближённого.
 В настоящем разделе будут изложены лишь элементы теории массового обслуживания в той простейшей форме, которую они приобретают в рамках марковской теории.

Классификация систем массового обслуживания и их основные характеристики

 СМО могут быть двух типов.
  1. Системы с отказами. В таких системах заявка, посткпающая в момент, когда все каналы заняты, получает "отказ", покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует.
  2. Система с лжиданием (с очередью). В таких системах заявка, поступающая в момент, когда все каналы заняты, становится в очередь и ожидает, пока не освободится один из каналов. Как только освободится канал, принимается к обслуживанию одна из заявок, стоящих в очереди.
 Обслуживание в системе с ожиданием может быть "упорядоченным" (заявки обслуживаются в порядке поступления) и "неупорядоченным" (заявки обслуживаются в случайном порядке). Кроме того, в некоторых СМО применяется "обслуживание с приоритетом", когда некоторые заявки обслуживаются в первую очередь, предпочтительно перед другими.
 Системы с очередью делятся на системы с неограниченным ожиданием и системы с ограниченным ожиданием.
 В системах с неограниченным ожиданием каждая заявки, поступившая в момент, когда нет свободных каналов, становится в очередь и "терпеливо" ждёт освобождения канала, который примет её к обслуживанию. Любая заявка, поступившая в СМО, рано или поздно будет обслужена.
 В системах с ограниченным ожиданием на пребывание заявки в очереди накладываются те или другие ограничения. Эти ограничения могут касаться длины очереди (числа заявок, одновременно находящихся в очереди), времени пребывания заявки в очереди (после какого - то срока пребывания в очереди заявка покидает очередь и уходит), общего времени пребывания заявки в СМО и т.д.
 В зависимости от типа СМО, при оценке эффективности могут применяться те или другие величины (показатели эффективности). Например, для СМО с отказами одной из важнейших характеристик её продуктивности является так называемая абсолютная пропускная способность – среднее число заявок, которое может обслужить система за единицу времени.
 Наряду с абсолютной, часто рассмотривается относительная пропускная способность СМО – средняя доля поступивших заявок, обслуживаемая системой (отношение среднего числа заявок, обслуживаемых системой в единицу времени, к среднему числу поступающих за это время заявок).
 Помимо абсолютной и относительной пропускной способностей, при анализе СМО с отказами могут,в зависимости от задачи исследования, интересовать и другие характеристики, например:
  1. – среднее число занятых каналов,
  2. – среднее относительное время простоя системы в целом и отдельно каждого канала и т.д.
 Перейдём к рассмотрению характеристик СМО с ожиданием. Очевидно, для СМО с ограниченным ожиданием как абсолютная, так и относительная пропускная способность теряют смысл, так как каждая поступившая заявка рано или поздно будет обслужена. Для такой системы весьма важными характеристиками являются:
  1. – среднее число заявок в очереди,
  2. – среднее число заявок в системе (в очереди и под обслуживанием),
  3. – среднее время ожидания заявки в очереди,
  4. – среднее время пребывания заявки в системе (в очереди и под обслуживанием), и др.
 Для анализа процесса, протекающего в СМО, важно знать основные параметры системы: число каналов n, интенсивность потока заявок λ, производительность каждого канала (среднее число заявок μ, обслуживаемое каналом в единицу времени), условия образования очереди (ограничения, если они есть).
 В зависимости от этих параметров будем в дальнейшем определять характеристики эффективности работы СМО.
 Будем считать все потоки событий, переводящие СМО из состояния в состояние, пеассоновскими.
 Когда пуассоновский поток стационарен (простейший поток) интервал времени T между событиями в этом потоке есть случайная величина, распределённая по показательному закону:

f (t) = λ·e− λ t, (t > 0),  (1)

где λ – интенсивность потока событий.
 В случае, когда из какого - то состояния St систему выводят сразу несколько простейших потоков, величина T – время пребывания системы в данном состоянии есть случайная величина, распределённая по закону (1), где λ – суммарная интенсивность всех потоков событий, выводящих систему из данного состояния.

Одноканальная СМО с отказами