1. Вероятность – аддитивная функция событий.
2. Вероятность разности событий.
3. Определение условной вероятности.
4. Теорема умножения вероятностей
5. Пример на определение живучести конструкции (схема 1).
6. Пример на определение живучести конструкции (схема 2).
7. Вопросы для самопроверки.

Доказательство. Пусть из общего числа единственно возможных, равновозможных и несовместимых случаев событию А благоприятствуют k, а событию В – l случаев. Тогда их вероятности Р(А) = k/n, Р(В) = l/n. По условию события А и В несовместимы. Следовательно, ни один из k случаев, благоприятствующих событию А, не благоприятствуют событию В. Отсюда следует, что сумме событий А + В, иначе {или А, или В}, благоприятствуют k + l случаев из n, а поэтому вероятность события

Р(А + В) =  = = Р(А) + Р(В).

 Действительно, так как Н = (Н – М) + H·M и H·М·(Н – М) = (М·Н) – (М·H) = Ø, то события H·М и (Н – М) несовместимы и, пользуясь теоремой о вероятности суммы двух несовместимых событий, получим

 Если события А и В произвольные, то формула сложения вероятностей обобщается и принимает вид

Определение. Вероятность события А, найденная в предположении, что событие В наступило, называется условной вероятностью события А относительно события В.
 Обозначать ее будем символом Р_в(А). В таком случае Р_в(А) означает вероятность события А, вычисленную в предположении, что событие В не наступило.
 Пример1. С первого станка на сборку поступило 200 деталей, из которых 180 годных, со второго – 300, из которых 260 годных. Найти вероятность события А, состоящего в том, что взятая наудачу деталь будет годной, и условную вероятность его относительно события В, если событие В состоит в том, что эта деталь изготовлена на первом станке.
 Решение. Вероятность события А равна отношению числа всех годных к общему числу изготовленных на обоих станках деталей:

.

,

 Теорема. Если событие А независимо от события В, то и В независимо от А. Если же событие А зависимо от события В, то и событие В зависимо от A.

 Доказательство. Из теоремы произведения вероятностей следует соотношение:

 Определение. События А и В называются независимыми, если вероятность одного из них не изменяется при наступлении другого. В противном случае события А и В называются зависимыми.

 Определение. События А, В, С, ..... К называются попарно независимыми, если независимы между собой любые два из них.

 Определение. События А, В, С, ..., К называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не меняется при наступлении других событий (одного или нескольких в любой комбинации и в любом числе).

 Независимость событий в совокупности является более сильным требованием, чем их попарная независимость. На примере С. Н. Бернштейна покажем, что три попарно независимых события могут не быть независимыми в совокупности.
 В ящике имеются четыре билета с номерами 110, 101, 011, 000. Пусть события А, В, С состоят в том, что соответственно первая, вторая, третья цифра номера наудачу вынутого билета есть 1. Каждому из них благоприятствуют по два случая из четырех. Следовательно, Р (А) = Р (В) = Р (С) = 0,5. Если событие А произошло (вынут билет либо с номером 110, либо с номером 101), то вероятность события В по - прежнему равна 0,5 (ему благоприятствует один случай из двух); Р_А (B) = 0,5, т. е. события А и В независимые. Аналогично можно показать, что события A и С, а также В и С попарно независимые. Если имели место события А и В, т. е. вынут билет с номером 110, то событие С становится невозможным, так как на третьем месте стоит нуль, а поэтому условная вероятность его Р_AB(С) = 0. Следовательно, события А, В и С зависимые в совокупности, хотя они попарно. независимые. Теорема умножения вероятностей для двух независимых событий имеет более простой вид.

 Доказательство. Если события А и В независимые, то Р_А (В) = Р (В), а Р_в (А) = Р (А) и формулы теоремы умножения вероятностей для любых двух событий, принимают вид:

 Пример3. Считая вероятность безотказной работы станка в течение смены равной 0,9, найти вероятность безотказной работы двух станков в течение смены.

 Решение. Считая события А и В, состоящие в безотказной работе в течение смены соответственно первого и второго станков, независимыми и применяя к ним теорему умножения вероятностей получим: Р (А В) = 0,9·0,9 = 0,81.

 Выполнение равенства (*) является необходимым и достаточным условием независимости событий А и В, если вероятность хотя бы одного из них отлична от нуля и единицы.

 Теорема. Вероятность произведения конечного числа событий равна произведению их условных вероятностей относительно произведения предшествующих каждому из них событий, т. е.

 Если события А, В, С, ...К, L независимые в совокупности, то формула (**) упрощается, а именно:

 Пример4. На десяти карточках напечатаны цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Найти вероятность того, что три наудачу взятые и поставленные в ряд карточки составят число 125.
 Решение. Искомое событие D произойдет, если первой будет взята карточка с цифрой 1 (событие А), вторая – с цифрой 2 (событие В), третья – с цифрой 5 (событие С). Вероятность его по геореме умножения вероятостей для трех зависимых событий:

.

 Пример5. Рабочий обслуживает четыре однотипных станка. Вероятность того, что станок (любой) в течение часа потребует внимания рабочего, равна 0,6. Предполагая, что неполадки на станках независимые, найти вероятность того, что в течение часа потребуют внимания рабочего: а) все четыре станка; б) ни один станок; в) по крайней мере один станок.

 Решение. а) Обозначим через A₁, А₂, A₃, А₄, события, состоящие в том, что в течение часа потребуют внимания рабочего соответственно первый, второй, третий, четвертый станки. По теореме умножения вероятностей для независимых событий вероятность того, что в течение часа все станки потребуют внимания рабочего, т. е. произойдут события A₁ и A₂, A₃ и A₄, Р (A₁ A₂ A₃ A₄) = 0,6 · 0,6 · 0 6 · 0,6 = 0,1296.
 б) Вероятность того, что в течение часа станок (любой) не потребует внимания рабочего, по правилу нахождения вероятности противоположного события: . Поэтому вероятность события В, заключающегося в том, что в течение часа ни один станок не потребует внимания рабочего, т. е. произойдут события и , и, и , и : .
 в) Событие, состоящее в том, что в течение часа по крайней мере один из четырех станков потребует внимания рабочего, и событие В, рассмотренное в пункте «б», противоположные. Поэтому вероятность искомого события : P ( ) = 1 − P ( B ) = 1 − 0,0256 = 0,9744.
 Пример6. Пусть вероятность того, что в магазине очередной будет продана пара мужской обуви 46-го размера, равна 0,01. Сколько нужно продать пар сбуви, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,9, ожидать, что среди них будет хотя бы одна пара 46-го размера.
 Решение. Пусть необходимо продать n пар обуви. Вероятность того, что очередной будет продана пара обуви не 46-го размера, равна: 1 - 0,01 = 0,99 (по правилу нахождения вероятности противоположного события), а вероятность того, что все n пар будут проданы не 46-го размера, по теореме умножения для я независимых событий равна 0,99ⁿ. События «все n пар будут проданы не 46-го размера» и «будет продана хотя бы одна пара 46-го размера» противоположные, а поэтому вероятность последнего равна: 1 - 0,99ⁿ. По условию она должна быть не меньше 0,9: 1 - 0,99ⁿ ≥ 0,9, откуда 0,99ⁿ ≤ 0,1. Логарифмируя обе части неравенства, имеем: n lg 0,99 ≤ lg 0,1. Разделив обе части неравенства на отрицательное число lg 0,99 и выполнив вычисления, получим:

 Рассмотренные выше общие теоремы позволяют проводить анализ довольно - таки сложных случайных событий, которые, в свою очередь, зависят от других случайных событий. Для иллюстрации этого рассмотрим следующую задачу.
 В результате анализа железнодорожной конструкции выявлены три узла, при выходе из строя которых конструкция разрушается. Конструкция разрушается, если выходят из строя 1 и 2 узел одновременно, или отдельно узел 3. При данных условиях работы железнодорожной конструкции узел 1 выходит из строя с вероятностью р₁, второй узел – р₂, третий узел – р₃. Узлы конструкции могут выходить из строя независимо друг от друга. Найти вероятность того, что конструкция будет разрушена.
 Р е ш е н и е. Событие А – разрушение конструкции есть сумма двух совместных событий: Д – выход из строя узлов 1 и 2; К – выход из строя узла 3. Используя теорему вероятности суммы двух произвольных событий, получим

Рис.1. Схема расположения элементов конструкции

;
, .

1. Сформулируйте теорему о вероятности суммы несовместимых событий.
2. Сформулируйте теорему о вероятности суммы совместимых событий.
3. Чему равна вероятность суммы событий, образующих полную группу?
4. Как связаны вероятности противоположных событий?
5. Как найти вероятность появления интересующего события хотя бы один раз?
6. На основании какой теоремы доказывается теорема о разности событий?
7. Дайте определение условной вероятности.
8. Запишите формулу вероятности произведения произвольных событий.
9. Какие теоремы применяются при решении задачи о стрельбе по самолёту?
10. Какие теоремы применяются при решении задачи о стрельбе по бакам?
11. Имеется 10 кусков металла. Среди них 4 красного цвета. Наудачу выбрано 3 куска. Найти вероятность того, что среди выбранных кусков хотя бы один был красного цвета.

    A	B	C	D	E
    1/6	5/6	1/2	1/6	1/3

12. Среди 15 рабочих 5 женщин. В избирательную комиссию наудачу выбрано 3 человека. Найти вероятность того, что среди них есть хотя бы одна женщина.

    A	B	C	D	E
    67/91	59/90	57/90	57/91	47/90

13. Студент ищет необходимую ему книгу в трёх магазинах. Вероятность того, что книга имеется в первом магазине, равна 0,6; во втором 0,7, в третьем магазине 0,8. Найти вероятность того, что книга находится:
    • только в одном магазине,
    • только в двух магазинах,
    • во всех трёх магазинах.