СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА

  1. Формула полной вероятности.
  2. Формула Байеса.
  3. Пример 1.
  4. Пример 2.
  5. Вопросы для самопроверки.

Формула полной вероятности

   Теорема. Пусть интересующее нас случайное событие может произойти при некоторых условиях Н1, Н2, … ,Нn (гипотезы), которые сами являются образующими полную группу случайными событиями:  и Hi·Hj = U – невозможное событие при любых i ≠ j. Тогда вероятность события А при этих условиях может быть определена соотношением
.
   Доказательство. Так как гипотезы Нi образуют полную группу событий (не обязательно равновероятных), то в силу распределительного закона имеем
.
И так как события А·Нi попарно несовместимы, в силу условий теоремы, (А·Нi)·(А·Нj) = (А·А)·(Нi·Нj) = А·U = U, то, воспользовавшись аддитивным свойством вероятности для несовместимых событий, получим окончательно
.

Формула Байеса

   В ряде случаев приходится иметь дело с опытами, в которых случайным образом может присутствовать то или иное условие. Проводится опыт и по полученным результатам возникает необходимость выяснить, какова вероятность того, что в проведенном опыте присутствовало одно из возможных случайных условий.
   Теорема (Байеса). Пусть Н1, Н2,…Нn – полная группа событий. Тогда
.
   Доказательство. По теореме умножения имеем
.
Поделив полученное равенство на Р( А) и учитывая формулу полной вероятности, получим требуемое выражение формулы Байеса.

Пример 1

   На некоторый прибор подается основная команда А и две дублирующие команды В, С . По пути к объекту эти три команды с вероятностью p встречают некоторые помехи и гасятся. Если на прибор поступают все три команды А, В и С, то прибор срабатывает с вероятностью p1,2. Если на прибор поступает основная команда А и только одна дублирующая В или С, то прибор срабатывает с вероятностью p1,1. Если на прибор поступает только команда А, то прибор срабатывает с вероятностью p1,0. Если основная команда исчезла, то каждая из дублирующих команд, если они сохранятся, поступают на прибор и прибор срабатывает с вероятность p0,1. Найти полную вероятность срабатывания прибора с учётом всех вариантов искажений сигналов.
   Решение. Сформулируем гипотезы:                Вероятности этих гипотез равны:
P ( H1 ) = ( 1 - p )3, P ( H2 ) = 2 p ( 1 - p )2, P ( H3 ) = p² ( 1 - p ), P ( H4 ) = p ( 1 - p )², P ( H5 ) = 2 p² ( 1 - p ).
   Обозначим событие D – «прибор сработал ». По условию задачи:
,, , , ,
по формуле полной вероятности имеем:
P(A) = ( 1 - p )3·p1,2 + 2 p ( 1 - p )2·p1,1 + p² ( 1 - p )·p1,0 +p ( 1 - p )²·[ 1 - ( 1 - p0,1 )2] +2 p² ( 1 - p ). p0,1

Пример 2

   Радиолокационная станция ведёт наблюдение за объектом, который может применить или не применить помехи. Если объект не применяет помех, то за один цикл обзора станция обнаруживает его с вероятностью p0; если применяет – с вероятностью p1 < p0. Вероятность того, что во время цикла будут применены помехи, равна p и не зависит от того, как и когда применялись помехи в остальных циклах. Найти вероятность того, что объект будет обнаружен хотя бы один раз за n циклов обзора.
   Р е ш е н и е. Полная вероятность обнаружения за один цикл равна ( 1 - p)·p0 + p·p1. Вероятность хотя бы одного обнаружения за n циклов равна 1 - [ 1 - (1 - p)·p0 + p·p1]n.

Вопросы для самопроверки

  1. Какому свойству должны удовлетворять гипотезы в формуле полной вероятности?
  2. Сформулируйте теорему полной вероятности.
  3. В чём отличие формулы полной вероятности от формулы Байеса?
  4. В сборочный цех принесли детали из первого автомата 20 %, из второго –30 %, из третьего – 50 %. 21 % деталей, изготовленные на первом автомате, являются бракованными, на втором – 30 % и на третьем –10 %. Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется бракованной.
    ABCDE
    0,5320,1650,1820,1630,197
  5. 25%, 35 %, 40 % продукции изготавливают соответственно машины В1, В2, В3. Процент выхода негодной продукции, изготовленной каждой машиной, составляет соответственно 5 %, 4 %, 2 %. Найти вероятность того, что наудачу выбранная продукция окажется негодной.
    ABCDE
    0,31270,03450,045160,20410,3189