СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА

  1. Последовательность независимых испытаний.
  2. Формула Бернулли.
  3. Производящая функция.
  4. Пример 1.
  5. Пример 2.
  6. Вопросы для самопроверки.

Последовательность независимых испытаний

   Определение. Пусть имеется n опытов S1, S2, …, Sn. Скажем, что они независимы, если выполнены следующие условия:
  1. Если событие А может произойти в опыте Sk, то оно может произойти и опыте Ω, состоящее в том, что проведены все n опытов; при этом вероятность события А в опыте Ω равна вероятности события А в опыте Sk.
  2. При произвольном выборе события А1 из опыта S1, события А2 из опыта S2 и т. д., события Аn из опыта Sn выполнено равенство
    P (A1·A2·…·An) = P (A1)·P (A2)·…·P (An).
   Определение. Скажем, что опыт S повторили n раз независимым образом, если независимы следующие n опытов: опыт S1 есть первое осуществление опыта S, опыт S2 есть второе осуществление опыта S и так далее, опыт Sn есть n - е осуществление опыта S.

Формула Бернулли

   В опыте S может произойти событие А с вероятностью р = Р(А). Опыт S повторили n раз независимым образом. Вероятность того, что в серии из n опытов событие А произошло ровно m (0 ≤ m ≤ n) раз определяется соотношением
(p любые, m и n малые).
   В формуле Бернулли в результате каждого испытания может наступить событие А с одинаковой при всех испытаниях вероятностью.
   Вероятность того, что событие произойдет не менее k1 и не более k2 раз в серии из n испытаний равна
Рn( k1 ≤ k ≤ k2) =.
   Вероятность того, что событие произойдет не более k2 раз в серии из n испытаний равна
Рn(k ≤ k2) =.
   Вероятность того, что событие произойдет не менее k1 раз в серии из n испытаний равна
Рn(k ≥ k1) =.

Производящая функция

   Вероятности Рn(m), найденные по формуле Бернулли, являются коэффициентами при xn разложения бинома
φn(х) = (q + p·x)n,
то есть
.
   Функцию φn(х) называют производящей.
   Производится n испытаний; в результате каждого испытания может наступить событие А с неодинаковыми вероятностями р1, р2, … , рn. Нужно найти вероятность того, что событие А произойдет k раз.
  Для рассматриваемой задачи вводится производящая функция
φn(х) = .
   Коэффициенты Рn(k) могут быть определены непосредственно
.
   Проводится n испытаний, в результате каждого испытания может наступить только одно из событий А1, А2, …, Аn с вероятностями р1, р2, …, рn. Найти вероятность того, что событие А1 произойдет k1 раз, событие А2 произойдет k2 раз и т. д.
   Для рассматриваемой задачи вводится производящая функция
φn(х) = (р1·х1 + р2·х2+ … + рn·xn )n.
Искомая вероятность определится из соотношения
Рm(k1, k2, … ,kn) =.
   Пример 1.Завод изготавливает изделия, каждое из которых должно подвергаться четырём видам испытаний. Первое испытание изделие проходит благополучно с вероятностью 0,9; второе – с вероятностью 0,95; третье – с вероятностью 0,8 и четвёртое – с вероятностью 0,85. Найти вероятность того, что изделие пройдёт благополучно:    Решение. Рассматривается производящая функция
φn(х) =.
Для данного примера эта производящая функция имеет вид
.
Представим производящую функцию в виде многочлена в стандартном виде
φ4(z) = 0,000150 + 0,005650 z + 0,069650 z2 + 0,343150 z3 + 0,581400 z4.
Таким образом,
Р(А) = Р4(4) = 0,5814; Р(В) = Р4(2) = 0,069650;
Р (С) = 1 – Р4(0) – Р4(1) = 1 – 0,000150 – 0,005650 = 0,99420.
   Пример 2. Среди изделий, произведенных на станке-автомате, в среднем бывает 90 % изделий первого сорта. Какова вероятность того, что среди пяти наудачу выбранных изделий будет не менее четырех изделий первого сорта?
   Решение. Воспользуемся формулой Бернулли для подсчёта искомой вероятности:
.
По теореме сложения вероятностей имеем
=
= = 5·0,94·0,1 + 0,95 = 0,919.

Вопросы для самопроверки

  1. При каких условиях применяется схема Бернулли?
  2. Запишите интервальные оценки вероятности в схеме Бернулли.
  3. Что называется производящей функцией, и какой смысл коэффициентов при разложении производящей функции?
  4. В тире имеется 4 винтовки. Вероятности попадания в мишень из этих винтовок соответственно равны 0,5, 0,6, 0,8, и 0,9. Найти вероятность того, что мишень будет поражена из одной наугад выбранной винтовки.
    ABCDE
    0,70,60,80,10,9