СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА

  1. Наиболее вероятное число опытов, в которых произойдет интересующее нас событие.
  2. Формула Пуассона.
  3. Формулы Лапласа.
  4. Пример 1.
  5. Пример 2.
  6. Вопросы для самопроверки.

Наиболее вероятное число опытов,
в которых произойдет интересующее нас событие

   Значение параметра k, которому соответствует наибольшее значение вероятности, называется наиболее вероятным числом появления интересующего нас события в схеме Бернулли.
   Найдём интервалы возрастания и убывания вероятности в схеме Бернулли в зависимости от параметра k. Рассмотрим отношение
.
   При k ≤ m·p – q функция Рm(k) растет с ростом k. При k ≥ m·p – q она убывает. Величина [m ·p] – наиболее вероятное число появления событий (целая часть числа). Отклонение k от (m×p) пропорционально .

Формула Пуассона

   Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и мала; число независимых испытаний n достаточно велико, но произведение n·p = λ остается небольшим, то вероятность того, что в этих испытаниях событие А наступит m раз равна
,
где λ = n·p.
   Доказательство. Из равенства n·p = λ имеем р = λ / n. Искомая вероятность Рn (m) определяется формулой Бернулли. Заменив в ней р величиной λ / n, получим
   Число m можно считать небольшим, так как с заметно отличными от нуля вероятностями возможны только такие исходы испытаний, число которых n по условию достаточно велико, а р ≈ l / n – мало, поэтому множители в скобках можно приближенно считать равными единице, а тогда выражение Рn(m) упрощается и принимает вид
.
Используя второй замечательный предел, можно считать при больших n
Учитывая все вышесказанное, получим формулу Пуассона.

Вероятности попадания в интервал

  1. pn( m1 ≤ m ≤ m2 ) = Qλ ( m1 ) - Qλ ( m2 ), где ,
  2. pn( m ≤ m2 ) = 1 - Qλ ( m2 ),
  3. pn(m ≥ m1) = Qλ ( m1 ).

Формулы Лапласа

   Формулы Лапласса применяются при больших m и не очень маленьких р.
.
Функция  – называется функцией Лапласа и представляется графически и таблично (см. приложение).
   Вероятность попадания в интервал определится соотношением
,
где ;  и  – интегральная функция Лапласа.
   Интервальные оценки определятся соотношениями
,

Пример 1

   Вероятность того, что пара обуви, взятая наудачу из изготовленной партии, окажется первого сорта, равна 0,7. Определить вероятность того, что среди 2100 пар, поступающих на контроль, число пар первосортной обуви окажется не менее 1000 и не более 1500.
   Решение. Воспользуемся интегральной формулой Лапласа:
p( m1 ≤ n ≤ m2 ) ≈ Ф( t1 ) - Ф( t2 ),
где ; . По условию задачи: р = 0,7; q = 0.3; n = 2100; m 1 = 1000; m2 = 1500.


p( m1 ≤ n ≤ m2 ) ≈ Ф( t1 ) - Ф( t2 ) = 0,4236 + 0,5 = 0,9236.

Пример 2

Вероятность рождения мальчика р = 0,515. Какова вероятность, что из 1000 рождающихся детей мальчиков будет 520?
   Решение. Используем дифференциальную теорему Лапласа.
В данном случае

Вопросы для самопроверки

  1. Что считают наивероятным числом появления случайного события в данных испытаниях?
  2. Как найти наивероятное число появления случайного события в схеме Бернулли?
  3. Чем является формула Пуассона по отношению к формуле Бернулли?
  4. В каких случаях используется формула Пуассона?
  5. Как выводится формула Пуассона?
  6. Как записывается локальная формула Лапласа?
  7. Как записывается интервальная формула Лапласа?
  8. В каких случаях применяют формулы Лапласа?
  9. Какой вид имеют графики функций Лапласа?
  10. Что можно сказать о чётности и нечётности функций Лапласа?