СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА

  1. Определение случайной величины.
  2. Закон распределения дискретной случайной величины.
  3. Независимость случайных величин.
  4. Одинаково распределённые случайные величины.
  5. Математические операции над случайными величинами.
  6. Пример.
  7. Функция распределения случайной величины.
  8. Свойства функции распределения.
  9. Вопросы для самопроверки.

Определение случайной величины

   Случайной величиной называется переменная, которая может принимать те или иные значения в зависимости от различных обстоятельств.
   Случайная величина называется дискретной, если множество значений ее конечно или счетно.

Закон распределения дискретной случайной величины

   Функция Р(х), связывающая значения случайной величины с соответствующими им вероятностями, представляет собой закон распределения дискретной, случайной величины. Его удобно задавать в виде таблицы, в верхней строчке которой расположены всевозможные значения случайной величины, а в нижней строчке расположены соответствующие им вероятности: рi = Р (Х = хi) .
Значениех1х2…xn
Вероятностьр1р2…pn
   События Х = хi (i = 1,2, … ,n) являются несовместимыми и единственно возможными, т.е. они образуют полную систему событий. Поэтому сумма вероятностей их равна единице:.
   Закон распределения можно представить графически. Для этого на плоскости в прямоугольной системе координат строят точки с координатами (xi, рi). А затем соединяют их последовательно отрезками прямой. В результате получают многоугольник распределения вероятностей случайной величины.
Х123456789
Р0,10,20,050,070,7060,0420,0870,010,335

Многоугольник распределения вероятностей случайной величины

Независимость случайных величин

   Дискретные случайные величины Х и Y называются независимыми, если независимы при любых i и j события Х = хi и Y = yj (i = 1, 2, … ,n; j = 1, 2, … , m).

Одинаково распределённые случайные величины

   Случайные величины X1, X2, …, Xn называются одинаково распределенными, если законы распределения их одинаковы.

Математические операции над случайными величинами

   Пусть случайная величина Х принимает значения хi с вероятностями Р (Х = хi) = рi (i = 1, 2, … , n), а случайная величина Y значения yj с вероятностями Р(Y = yj) = рj*(j = 1, 2, … , m).
   Произведение (k·X) случайной величины Х на постоянную k– это новая случайная величина, которая с теми же вероятностями, что и случайная величина Х, принимает значения, равные произведениям на k значений случайной величины.
   Квадрат случайной величины Х , то есть Х2 , – это новая случайная величина, значения которой есть квадраты случайной величины Х, а вероятности её определяются по теореме сложения вероятностей.
   Сумма случайных величин Х и Y – это новая случайная величина, которая принимает все значения вида хi + yj (i = 1, 2, … ,n; j = 1, 2, …, m) c вероятностями рij, выражающими вероятность того, что случайная величина Х примет значение хi, а Y – значение yj, то есть
рij = Р (Х = хi, Y = yj) = Р(Х = хi )·Р Х =хi (Y = yj).
Если эти события независимы, то эти вероятности равны
рij = Р(Х = хi, Y = yj ) = Р(Х = хi )·Р(Y = yj ) = рi·рj*.
   Аналогично определяется разность и произведение случайных величин Х и Y.

Пример

   Команда состоит из двух стрелков. Числа очков, выбиваемых при одном выстреле, являются случайными величинами, которые, предположим, характеризуются следующими законами распределения
Число очков X1345
Вероятность0,30,40,3
Число очков X212345
Вероятность0,10,10,10,20,5
Результаты стрельбы одного не влияют на результаты стрельбы другого. Составить закон распределения числа очков, выбиваемых командой, если стрелки сделают по одному выстрелу.
№ Х1 Х2 Х1 +Х2 Вероятность результата
1314 0,3 × 0,1 = 0,03
2325 0,3 × 0,1 = 0,03
3336 0,3 × 0,1 = 0,03
4347 0,3 × 0,2 = 0,06
5358 0,3 × 0,5 = 0,15
6415 0,4 × 0,1 = 0,04
7426 0,4 × 0,1 = 0,04
8437 0,4 × 0,1 = 0,04
9448 0,4 × 0,2 = 0,08
10459 0,4 × 0,5 = 0,2
11516 0,3 × 0,1 = 0,03
12527 0,3 × 0,1 = 0,03
13538 0,3 × 0,1 = 0,03
14549 0,3 × 0,2 = 0,06
155510 0,3 × 0,5 = 0,15
Р(Х1 + Х2 = 4) = 0,03;
P(Х1+ Х2 = 5) = 0,03 + 0,04 = 0,07;
Р(Х1+ Х2 = 6) = 0,03 + 0,04 + 0,03 = 0,1;
Р (х1 + X2 = 7) = 0,06 + 0,04 + 0,03 = 0,13;
Р(X1 + X2 = 8) = 0,15 + 0,08 + 0,03 = 0,26;
Р(X1 + X2 = 9) = 0,2 + 0,06 = 0,26;
Р (X1 + X2 = 10) = 0,15.
Итак, сумма случайных величин Х1 и Х2 – новая случайная величина Y , которая имеет такой закон распределения
Сумма очков Х1 +Х2 45678910
Вероятность0,030,070,10,130,260,260,15

Функция распределения случайной величины

   Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина X примет какое-нибудь значение, меньшее х :
F (x ) = P(X < x).

Свойства функции распределения

  1. Если F (x) – функция распределения, то 0 ≤ F(x) ≤ 1 для любого х.
    Это следует из определения функции распределения, поскольку вероятность любого события заключена в промежутке от 0 до 1.
  2. Функция распределения не убывает и Р (х1 ≤ X < х2) = F (х2) – F (х1).
       Доказательство. Пусть х1 < х2 – два любых числа. Тогда (X < х2) = (X < х1) + (х1 ≤ X <х2) и выписанные события несовместимы. Следовательно, в силу теоремы сложения
    р(X < х2) = р(X< х1) + р(х1 ≤ X < х2),
    откуда, по определению функции распределения случайной величины, получаем F(х2) = F(х1) + р(х1 ≤ X <х2). А так как вероятность любого события есть число неотрицательное, то F (х2) ≥ F(х1). Поскольку х1 и х2 были взяты произвольными, то неубывание функции F доказано.
  3. Если F – функция распределения, то F(x) → 1 при x → + ∞ и F(x) → 0 при x → – ∞.
        Доказательство. Так как F (x) монотонна и ограничена, то эти пределы существуют, , так как событие Х < + ∞ является достоверным событием; , так как событие Х < – ∞ является невозможным.
  4. Если х – есть точка непрерывности функции распределения случайной величины X, то Р (X = х) = 0.
        Доказательство. Случайная величина называется непрерывной, если её функция распределения вероятностей является непрерывной функцией, поэтому
    ,
    то есть Р (X = х) = 0.
  5. Если х1 – есть точка непрерывности для функции распределения F случайной величины X, то
    p(x1 ≤ X < х2) = р (х1 < X < х2) = F (х2) – F (х1).
        Доказательство. Так как (х1 ≤ X <х2) = ( X = х1 ) + (х1 < X < х2) и эти события несовместимы, то по теореме сложения
    р (х1 ≤ X < х2) = р(X = x1 ) + р(х1 < X < х2) = р(х1 < X < х2) = F (х2) – F (х1).
   График функции распределения непрерывной случайной величины имеет вид

Характерный вид графика функции распределения непрерывной случайной величины

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется случайной величиной?
  2. Какая случайная величина называется дискретной?
  3. Что называется законом распределения вероятностей дискретной случайной величины?
  4. Какому условию удовлетворяют вероятности в законе распределения дискретной случайной величины?
  5. Как графически представляется закон распределения вероятностей дискретной случайной величины?
  6. Как построить многоугольник распределения вероятностей дискретной случайной величины?
  7. Какие случайные величины называются независимыми?
  8. Какие случайные величины называются одинаково распределёнными?
  9. Как определяется произведение случайной величины на постоянное число?
  10. Как определяется квадрат случайной величины?
  11. Как определяется сумма случайных величин?
  12. Что называется функцией распределения вероятностей случайной величины?
  13. Перечислите свойства функции распределения вероятностей случайной величины.
  14. Чему равна вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение?
  15. Какая случайная величина называется непрерывной?
  16. Укажите характерный вид графика функции распределения вероятностей непрерывной случайной величины.