СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА

ЛЕКЦИЯ 8

  1. Функция плотности распределения вероятностей случайной величины.
  2. Свойства плотности распределения вероятностей случайной величины.
  3. Пример.
  4. Законы распределения некоторых случайных величин .
  5. Равномерное распределение случайной величины.
  6. Нормальный закон распределения случайной величины.
  7. Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой.
  8. Демонстрация влияния параметров нормального распределения на форму нормальной кривой в пакете MAPLE.
  9. Вопросы для самопроверки.

Функция плотности распределения вероятностей случайной величины

   Предел отношения вероятности попадания случайной величины в интервал к длине этого интервала, при условии стремления к нулю длины этого интервала, называется плотностью распределения вероятностей случайной величины, если этот предел существует:
.

Свойства плотности распределения вероятностей случайной величины

  1. Если функция распределения F случайной величины Х дифференцируема, то её плотность вероятностей равна производной функции распределения
    .
       Из этого свойства следует, что функция распределения вероятностей случайной величины является первообразной её плотности распределения.
  2. Для любого х плотность распределения является знакоположительной функцией
    f (x) = F ' (x) ≥ 0.
    Из условия возрастания функции распределения вероятностей следует условие знакоположительности плотности.
  3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал равна определённому интегралу от плотности распределения по заданному интервалу:
    .
       Доказательство вытекает из того, что функция распределения F(х) является первообразной плотности распределения.
       Вероятность попадания случайной величины в интервал численно равна площади криволинейной трапеции на заданном интервале под графиком плотности распределения вероятностей этой случайной величины.
       Это свойство вытекает из геометрического смысла определённого интеграла.
  4. Если f(х) – плотность вероятностей случайной величины, то
    .
       Доказательство.
    .
  5. Если F (x) и f (x) – функция распределения и плотность вероятностей случайной величины, то
    Доказательство.
    .

Теорема

   Если F(х) – есть функция распределения случайной величины X, а f (х) – её плотность вероятностей, то для случайной величины а· X + b, где а и b – постоянные (а ≠ 0), плотность вероятностей есть , а функция распределения есть при а > 0,  при а < 0.
   Доказательство начнём со случая а > 0. Обозначим через F1(х) функцию распределения для случайной величины а·X + b и через f1(х) её плотность вероятностей. Тогда, по определению функции распределения, имеем
По определению плотности вероятностей имеем
f1(х) = F1' (х) = .
Поскольку | a | = a  при a > 0, то формула доказана. Случай а < 0 доказывается аналогично.

Пример

   Случайная величина имеет плотность вероятностей
Определить параметр а и функцию распределения.
   Решение. Параметр а определим с помощью свойства плотности распределения
откуда найдём параметр а = 4.
График плотности распределения вероятностей.
   Функцию распределения найдём посредством связи её с плотностью распределения
   Если х ≤ 1, то F(x) = 0. Если x > 1, то
График функции распределения вероятностей имеет вид.

Законы распределения некоторых случайных величин

   Случайная величина Х распределена по биноминальному закону, если вероятность того, что Х = m определяется формулой Бернулли: .
Случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что Х = m определяется формулой Пуассона: .

Равномерное распределение случайной величины

   Случайная величина Х распределена равномерно, если плотность распределения вероятностей её определяется соотношением:
Используя связь между плотностью и функцией распределения, найдём
Ниже приведен характерный вид графиков этих функций
График плотности вероятностей равномерно распределённой случайной величины
График функции распределения вероятностей равномерно распределённой случайной величины

Нормальный закон распределения

   Случайная величина распределена по нормальному закону, если её плотность вероятности определяется соотношением
.
Исследуем функцию методами дифференциального исчисления.
  1. Функция определена на всей оси x.
  2. При всех значениях x функция принимает положительное значение, т.е. нормальная кривая расположена над осью Оx.
  3. При x → ± ∞ имеем у → 0, т.е. ось Оx служит горизонтальной асимптотой графика.
  4. Исследуем функции на экстремум. Найдем первую производную:
    Легко видеть, что y´ = 0 при x = a, y´ > 0 при x < a, y´ < 0 при x > a. Следовательно, при x = a функция имеет максимум, равный .
  5. Разность x - a содержится в аналитическом выражении функции в квадрате, т. е. график функции симметричен относительно прямой x = a.
  6. Исследуем функцию на точки перегиба. Найдем вторую производную:
    .
    Легко видеть, что при x = a + σ и x = a - σ вторая производная равна нулю, а при переходе через эти точки она меняет знак (в обеих этих точках значение функции равно ). Таким образом, точки графика и являются точками перегиба.

На рисунке 1 изображена нормальная кривая при a = 1 и σ = 2.

Влияние параметров нормального распределения на форму нормальной кривой

   Выясним, как влияют на форму и расположение нормальной кривой значения параметров a и σ.
   Известно, что графики функции f(x) и f(x - a) имеют одинаковую форму; сдвинув график f(x) в положительном направлении оси x на a единиц масштаба при a > 0 или в отрицательном направлении при a < 0, получим график f(x - a). Отсюда следует, что изменение величины параметра a не изменяет формы нормальной кривой, а приводит лишь к ее сдвигу вдоль оси Ox: вправо, если a возрастает, и влево, если a убывает.
   По-ином обстоит дело, если изменяется параметр σ. Как было указано выше, максимум дифференциальной функции нормального распределения равен . Отсюда следует, что с возрастанием σ максимальная ордината нормальной кривой убывает, а сама кривая становится более пологой, т. е. сжимается к оси Ox; при убывании σ нормальная кривая становится более острой вершиной и растягивается в положительном направлении оси Oy.
   Подчеркиваем, что при любых значениях параметров а и σ площадь, ограниченная нормальной кривой и осью x, остается равной единице.

На рисунке 2 изображены нормальные кривые при различных значениях σ и a = 0.
Чертеж наглядно иллюстрирует, как изменение параметра сказывается на форме нормальной кривой.
При a = 0 и σ = 1 нормальную кривую называют нормированной.
Замечание 1. Общим называют нормальное распределение с произвольными параметрами а и σ (σ > 0).
Нормированным называют нормальное распределения с параметрами, а = 0 и σ = 1. Например, если X – нормальная величина с параметрами а и σ, то U = (X - a)/σ – нормированная нормальная величина M(U) = 0, σ(U) = 1.
Динамика графика при увеличении среднего квадратического отклонения.
Динамика графика при увеличении математического ожидания.

Демонстрация влияния параметров нормального распределения на форму нормальной кривой в пакете MAPLE

>with(plots):
>f:=(x,a,sigma)->((1)/(sigma*sqrt(2*Pi)))*exp(-(x-a)^2/(2*sigma^2)):
>animate( f(x,2,t),x=-5..10,t=1..2,frames=10);

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется плотностью распределения вероятностей случайной величины?
  2. Перечислите свойства плотности распределения вероятностей случайной величины.
  3. Какой геометрический смысл имеет плотность распределения вероятностей случайной величины?
  4. Как функция распределения связана с плотностью распределения вероятностей случайной величины?
  5. Перечислите основные законы распределения случайных величин.
  6. Нарисуйте графики функций распределения и плотности распределения вероятностей для равномерно распределённой и нормально распределённой случайных величин.