СОДЕРЖАНИЕ РАЗДЕЛА

Лекция 9

  1. Математическое ожидание случайной величины
  2. Свойства математического ожидания
  3. Дисперсия
  4. Свойства дисперсии
  5. Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой случайной величины
  6. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределённой по биноминальному закону
  7. Пример 1
  8. Пример 2
  9. Вопросы для самопроверки

Математическое ожидание случайной величины

Пусть x1, x2, … , xn обозначают возможные значения дискретной, случайной величины X, а p1, p2, … , pn – соответствующие им вероятности. Если ряд сходится абсолютно, то его сумма называется математическим ожиданием случайной величины X и обозначается M ( X ).
   Если случайная величина X непрерывна и f (х) – её плотность распределения, то математическим ожиданием величины X называется интеграл в тех случаях, когда существует интеграл .
   Для произвольной случайной величины X с функцией распределения F(x) математическим ожиданием называется интеграл .
Действительно, пусть непрерывная случайная величина X задана плотностью распределения f(x) и все возможные значения X принадлежат отрезку [a, b]. Разобьем этот отрезок на n частичных отрезков длиною Δx1, Δx2, …, Δxn и выберем в каждом из них произвольную точку xi (i = 1,2, …, n). Определим математическое ожидание непрерывной величины по аналогии с дискретной; составим сумму произведений возможных значений xi на вероятности попадания их в интервал Δxi (произведение f(x)· Δx приближено равно вероятности попадания X в интервал Δx): Sxi· f(xi)· Δxi . Перейдя к пределу при стремлении к нулю длины наибольшего из частичных отрезков, получим определенный интеграл .
   Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которые принадлежат отрезку [a, b], называют определенный интеграл
М(X) = .
Если возможные значения принадлежат всей оси Ox, то , если существует интеграл . Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к - ∞, а верхнего + ∞.

Свойства математического ожидания

  1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной.
       Д о к а з а т е л ь с т в о. Постоянную величину а можно рассматривать как случайную величину, которая принимает лишь одно значение «а» с вероятностью 1. Поэтому её математическое ожидание М(а) = а·1 = а.
  2. Постоянный множитель можно выносить за символ математического ожидания, т. е. М(k·Х) = k·М(Х), где k постоянная величина.
       Д о к а з а т е л ь с т в о. k·Х – это случайная величина, которая принимает значения k·хi, причём
    Р(k·Х = k·хi) = pi, ( i = 1, 2, …, n).
    Математическое ожидание её равно
    М(k·Х) = kх1·р1 + kх2·р2 + … + kхn·pn = k(x1p1 + x2p2 + … +xn·pn) = k·M(Х).
  3. Математическое ожидание суммы конечного числа случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
       Д о к а з а т е л ь с т в о. Доказательство проводится для двух случайных величин.
    ,
    где
    pij = Р(Х + Y = хi + yj) = Р(Х = хi и Y = yj) = Р (Х = хi )·РХ = хi(Y = yj) = Р (Y = yj )·РY = yj(X = xi).
    Далее
    Здесь использовалась формула полной вероятности, например,
    .
          С л е д с т в и е. Математическое ожидание разности случайных величин равно разности их математических ожиданий.
  4. Математическое ожидание произведения конечного числа независимых величин равно произведению их математических ожиданий.
       Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению математического ожидания
    .
  5. Если все значения случайной величины Х уменьшить (увеличить) на одно и то же число С, то математическое ожидание её уменьшится (увеличится) на то же число С.
       С л е д с т в и е. Математическое ожидание отклонения случайной величины Х от её математического ожидания равно нулю.
  6. Если Х 1, Х2, …, Хn – одинаково распределённые случайные величины, математическое ожидание каждой их которых равно а, то математическое ожидание их суммы равно n·a, а средней арифметической а.
       Д о к а з а т е л ь с т в о.
    М(Х1 + Х2 + … + Хn) = М(Х1) + М(Х2) + … + М(Хn) = n·a,
    .

Дисперсия

   Дисперсией случайной величины X называется математическое ожидание квадрата уклонения X от М(Х).
   Дисперсия является мерой рассеивания значений случайной величины около математического ожидания:
D(X) = M(X – M(X) )2.

Свойства дисперсии

  1. Дисперсия постоянной величины равна нулю.
       Д о к а з а т е л ь с т в о. D(a) = (a – a)2 ·1 = 0.
  2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его при этом в квадрат, т. е. D(k·x) = k2D(X), где k – постоянная величина.
       Д о к а з а т е л ь с т в о.
    D(k·X) = M(k·X – M (k·X))2 = M(k·X – k·M (X))2 = M(k2·(X – M(X))2) = k2·M(X – M(X))2 = k2D(X).
  3. Дисперсия случайной величины равна математическому ожиданию её квадрата без квадрата её математического ожидания:
    D(X) = M(X2) – M2(X).
    Д о к а з а т е л ь с т в о.
    D(X) = M (X – M (X))2 = M(X – a)2= M(X2– 2·X·a + a2) = M(X2) – M(2·X·a) + M(a2) = M(X2) – 2·a·M(X) + M(a2) =
    = M(X2) – 2·a2+ a2 = M(X2) – a2 = M(X2) – M2(X).
  4. Дисперсия суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий.
       Д о к а з а т е л ь с т в о.

    D(X + Y) = M((X + Y) – M(X + Y))2 = M(X + Y – M(X) - M(Y))2 = M((X – M(X)) + (Y – M(Y)))2 =
    = M((X – M(X))2 + (Y – M(Y))2 + 2(X – M(X))(Y – M(Y))) =
    =M(X – M(X))2 + M(Y – M(Y))2 + 2M(X – M(X))·M(Y – M(Y)) = M(X – M(X))2 + M(Y – M(Y))2 = D(X)+ D(Y).

       О п р е д е л е н и е. Выражение  называется средним квадратическим отклонением.
  5. ЕслиХ1, Х2, … , Хn – одинаково распределённые  случайные величины, дисперсия каждой их которых равна s2,
    то дисперсия их суммы равна n s2, а средней арифметической s2⁄n.
       Д о к а з а т е л ь с т в о. D(X1 + X2+ … + X n) = D(X1) + D(X2) + … + D(X n) = n s2, так как D (X1) = D (X2) = … = D ( Xn) = s2.
         Для непрерывной случайной величины с плотностью распределения f(x) используется формула
.

Математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой случайной величины

Математическое ожидание равномерно распределённой случайной величины
,
дисперсия равномерно распределённой случайной величины
.

Математическое ожидание случайной величины, распределённой по биноминальному закону

   Математическое ожидание случайной величины, распределённой по биноминальному закону, то есть числа наступлений событий А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с постоянной вероятностью р, равно n·p; дисперсия равна npq, где q = 1– p
   Д о к а з а т е л ь с т в о. Искомую случайную величину, которую обозначим через Х, рассмотрим как сумму случайных величин Х1, Х2, … ,Хn, выражающих число наступлений события А соответственно в первом, втором, … , n - ом испытаниях.
Таблица распределений вероятностей каждой из них имеет вид
Значение01
Вероятностьqp
Поэтому математическое ожидание каждой (при любом i = 1, 2, … , n) M( Xi ) = p, а дисперсия
D ( Xi ) = (0 – p)2q + (1 – p)2p = p2q + q2p = p ·q(p + q) = p·q.
Следовательно, математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, согласно их свойствам, равны
M (X) = n·p; D (X) = n·p·q.

Пример 1

         Каждый из двух стрелков делает по два выстрела по мишени, вероятность попадания в которую для первого стрелка равна 0,8, для второго – 0,9. Составить закон распределения общего числа попаданий. Определить математическое ожидание и дисперсию числа попаданий.
   Р е ш е н и е. ПустьХ – число попаданий первым стрелком при двух выстрелах, Y – число попаданий вторым стрелком при двух выстрелах. Тогда закон распределения вероятностей случайной величины Х определится таблицей:
Х012
Р0,040,320,64
Причём Р(Х = 0) = = q² = 0,2² = 0,04; P (X = 1) = =2·0,8·0,2 = 0,32; Р(Х =2) = = 0,64.
Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х
М(Х) = 0·0,04 + 1·0,32 + 2·0,64 = 1,6;
D(Х) = (0 – 1,6)2 ·0,04 + (1 – 1,6)2 ·0,32 + (2 – 1,6)2 ·0,64 = 0,32.
Закон распределения вероятностей случайной величины Y определится таблицей
Y 012
Р0,010,180,81
Причём Р (Y = 0) = = 0,12 = 0,01; Р(Y = 1) = = 2·0,9·0,1 = 0,18; Р(Y = 2) =  = 0,81.
   Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y:
М (Y) = 0·0,01 + 1·0,18 + 2·0,81 = 1,8; D(Y) =(0 - 1,8)²·0,01 + (1 – 1,8)2 ·0,18 + (2 – 1,8)2 · 0,81 = 0,18.
Составим вспомогательную таблицу:
№ХYХ + Yр
10000,04· 0,01=0,0004
20110,04·0,18 = 0,0072
30220,04·0,81 = 0,0324
41010,32·0,01 = 0,0032
51120,32·0,18 = 0,0576
61230,32·0,81 = 0,2592
72020,65·0,01 = 0,0065
82130,64·0,18 = 0,1152
92240,64·0,81 = 0,5184
         Составим новую случайную величину Х + Y, которая означает количество выбитых очков двумя стрелками при двух выстрелах. Закон распределения этой случайной величины указан ниже:
Х + Y01234
Р 0,00040,01040,09650,37440,5184
Используя свойства математического ожидания и дисперсии, найдем
М(Х + Y) = М (Х) + М (Y) = 1,6 + 1,8 = 3,4; D(Х + Y) = D(Х) + D(Y) = 0,32 + 0,18 = 0,5.

Пример 2

   Написать выражения функции распределения случайной величины Y = aX + b для заданного ряда распределения случайной величины X и значений параметров a и b. Случайная величина X задана распределением вероятностей
X2468
P 0,10,20,50,2
Далее a = 3, b = 2. Определить математическое ожидание и дисперсию случайной величины Y.
   Решение. Так как Р( а·X = pi ) = Р( X = pi ), то меняются принимаемые случайной величиной значения, а вероятности остаются без изменения. Поэтому для Y = 3·Х + 2.
Y8142026
P 0,10,20,50,2
М(Х)= 2·0,1 + 4·0,2 + 6· 0,5 + 8· 0,2 = 5,86;
M(X2) = 22 · 0 ,1+ 42 · 0,2 + 62 · 0,5 + 82 · 0,2 = 34,4;
D(X) = M(X2) – M2(X) = 34 ,4 – (5,86) 2 = 0,0604;
М(а·Х + b) = M(a ·X) + M(b) = a ·M(X) + b = 3· 5,86 + 2 = 16,58;
D(a ·X + b) = D(a · X) + D(b) = a2D(X)= 9· 0,0604 = 0,5436.

Вопросы для самопроверки

  1. Что называется математическим ожиданием дискретной случайной величины?
  2. Напишите формулу, по которой находится математическое ожидание дискретной случайной величины.
  3. Перечислите свойства математического ожидания.
  4. Дайте определение дисперсии случайной величины.
  5. Перечислите свойства дисперсии.
  6. Чему равны математическое ожидание и дисперсия равномерно распределённой случайной величины?
  7. Чему равны математическое ожидание и дисперсия случайной величины, распределённой по биноминальному закону?